자연계열 2번

2-1.이차함수 $\displaystyle y=nx^2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(a_n,b_n)$을 지나는 접선의 방정식은$\displaystyle y=2na_n(x-a_n)+na_n^2$이고,

이차함수 $\displaystyle y=nx^2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(a_n,b_n)$을 지나고 이 점에서의 접선에 수직인 직선의 방정식은$\displaystyle y=-\frac1{2na_n}(x-a_n)+na_n^2$으로 주어진다. 또한 이 직선은 점 $\displaystyle (0,1)$을 지나므로$\displaystyle 1=\frac1{2n}+na_n^2$을 만족시킨다.

따라서$\displaystyle a_n^2=\frac{2n-1}{2n^2}$을 얻고, 이를 이용하면$\displaystyle a_n=\frac1n\sqrt{\frac{2n-1}{2}}$, $\displaystyle b_n=\frac{2n-1}{2n}$을 얻는다.

2-2.점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(a_n,b_n)$에서의 접선의 방정식은$\displaystyle y-na_n^2=2na_n(x-a_n)$이다. $\displaystyle x$축과의 교점을 구하기 위해 $\displaystyle y=0$을 대입하면$\displaystyle -na_n^2=2na_nx-2na_n^2$을 얻는다. 따라서$\displaystyle x=\frac{a_n}{2}>0$이다.

이를 이용하여, 이차함수 $\displaystyle y=nx^2$과 $\displaystyle x$축 및 이차함수 $\displaystyle y=nx^2$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}_n(a_n,b_n)$에서의 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle A_n$을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}A_n&=\int_0^{\frac{a_n}{2}}nx^2\,dx+\int_{\frac{a_n}{2}}^{a_n}\{nx^2-(2na_nx-na_n^2)\}\,dx\\&=\int_0^{a_n}nx^2\,dx-\int_{\frac{a_n}{2}}^{a_n}(2na_nx-na_n^2)\,dx\\&=\frac{na_n^3}{3}-na_n\left\{a_n^2-\left(\frac{a_n}{2}\right)^2\right\}+na_n^2\frac{a_n}{2}\\&=na_n^3\left(\frac13-\frac34+\frac12\right)\\&=\frac{na_n^3}{12}\\&=\frac n{12}\frac1{n^3}\left(\sqrt{\frac{2n-1}{2}}\right)^3\end{aligned}$

따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{A_n}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1{12n^2}\frac{2n-1}{2}\sqrt{\frac{2n-1}{2}}}{\frac1n\sqrt{\frac{2n-1}{2}}}=\frac1{12}$이다.