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약학부 3번

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숙명여대 2026학년도 수시 약학부 3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2026su/yakhak_3

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문제

<바>함수 f:X→Y\displaystyle f:X\to Y가 일대일대응이면 Y\displaystyle Y의 각 원소 y\displaystyle y에 대하여 y=f(x)\displaystyle y=f(x)인 X\displaystyle X의 원소 x\displaystyle x가 오직 하나 존재한다. 이때 Y\displaystyle Y의 각 원소 y\displaystyle y에 y=f(x)\displaystyle y=f(x)인 X\displaystyle X의 원소 x\displaystyle x를 대응시키면 Y\displaystyle Y를 정의역, X\displaystyle X를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 함수 f\displaystyle f의 역함수라 하고, 기호로f−1:Y→X\displaystyle f^{-1}:Y\to X, x=f−1(y)\displaystyle x=f^{-1}(y)와 같이 나타낸다.

<사>지수함수 y=ax(a>0,a≠1)\displaystyle y=a^x(a>0,a\ne1)은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 역함수를 갖는다. 이때 로그의 정의에 의하여y=ax⇔x=log⁡ay\displaystyle y=a^x\Leftrightarrow x=\log_a y이므로, x=log⁡ay\displaystyle x=\log_a y에서 x\displaystyle x와 y\displaystyle y를 서로 바꾸면 지수함수 y=ax\displaystyle y=a^x의 역함수y=log⁡ax(a>0,a≠1)\displaystyle y=\log_a x(a>0,a\ne1)를 얻는다. 이 함수를 a\displaystyle a를 밑으로 하는 로그함수라고 하며 다음과 같은 성질을 갖는다.1. 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고 치역은 실수 전체의 집합이다.2. a>1\displaystyle a>1일 때, x\displaystyle x의 값이 증가하면 y\displaystyle y의 값도 증가한다.3. 그래프는 점 (1,0)\displaystyle (1,0)을 지나고, y\displaystyle y축을 점근선으로 갖는다.특히, a\displaystyle a가 자연상수 e=lim⁡x→∞(1+1x)x\displaystyle e=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x인 경우에 자연로그라 하고, y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x로 나타낸다.

제시문 <바>와 <사>를 읽고 다음 문제에 답하시오.

함수 f(x)=ln⁡1+x1−x\displaystyle f(x)=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}의 역함수를 y=g(x)\displaystyle y=g(x)라고 하자.

3-1. x>0\displaystyle x>0에 대하여 f(x)>x\displaystyle f(x)>x임을 보이시오.

3-2. y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프를 그리시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2026학년도 수시 약학부 3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2026su/yakhak_3

1단계 · <3-1>에서 f(x)\displaystyle f(x)의 정의역을 구할 수 있다.

3-1.주어진 함수f(x)=ln⁡1+x1−x=12(ln⁡(1+x)−ln⁡(1−x))\displaystyle f(x)=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\frac12(\ln(1+x)-\ln(1-x))의 정의역은 다음과 같다.{x∣−1<x<1}\displaystyle \{x\mid-1<x<1\}

2단계 · <3-1>에서 도함수를 이용하여 h(x)=f(x)−x\displaystyle h(x)=f(x)-x가 증가함수임을 보일 수 있다.

이제 두 함수의 차 f(x)−x\displaystyle f(x)-x를 h(x)\displaystyle h(x)라 두자. 즉,h(x)=f(x)−x\displaystyle h(x)=f(x)-x이다. 함수 h(x)\displaystyle h(x)를 미분하면h′(x)=f′(x)−1=12(11+x+11−x)−1=x21−x2\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(x)&=f^{\prime}(x)-1\\&=\frac12\left(\frac1{1+x}+\frac1{1-x}\right)-1\\&=\frac{x^2}{1-x^2}\end{aligned}이다. 따라서 0<x<1\displaystyle 0<x<1에서h′(x)>0\displaystyle h^{\prime}(x)>0이므로 h(x)\displaystyle h(x)는 증가함수이다.

3단계 · <3-1>에서 h(x)>h(0)=0\displaystyle h(x)>h(0)=0을 이용하여 f(x)>x\displaystyle f(x)>x임을 보일 수 있다.

또한 h(0)=0\displaystyle h(0)=0이므로 x>0\displaystyle x>0에 대하여h(x)>h(0)=0\displaystyle h(x)>h(0)=0을 만족시킨다. 따라서 x>0\displaystyle x>0에 대하여f(x)>x\displaystyle f(x)>x가 성립한다.

4단계 · <3-2>에서 이계도함수를 이용하여 변곡점을 구할 수 있다.

3-2.y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 역함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프는 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프를 직선 y=x\displaystyle y=x에 대하여 대칭하여 얻을 수 있다. y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프를 그리기 위해 함수의 증감을 확인하면 다음과 같다. 정의역 {x∣−1<x<1}\displaystyle \{x\mid-1<x<1\}에서f′(x)=11−x2>0\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{1-x^2}>0이다. 한편f′′(x)=2x(1−x2)2\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x}{(1-x^2)^2}이다. 이로부터 점 (0,0)\displaystyle (0,0)은 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 변곡점임을 알 수 있다.

5단계 · <3-2>에서 주어진 함수의 점근선을 구할 수 있다.

또한lim⁡x→1f(x)=∞\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\infty, lim⁡x→−1f(x)=−∞\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x)=-\infty이다. 따라서 두 직선 x=1\displaystyle x=1과 x=−1\displaystyle x=-1이 점근선이 된다.

6단계 · <3-2>에서 y=x\displaystyle y=x에 대한 대칭성을 이용하여 역함수의 그래프를 그릴 수 있다.

그리고f′(0)=1\displaystyle f^{\prime}(0)=1이므로 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프는 원점에서 y=x\displaystyle y=x에 접한다. 이제 이를 이용하여 그래프를 그리면 다음과 같다.

함수 f의 그래프와 수직점근선 x=±1

직선 y=x\displaystyle y=x에 관하여 대칭하면 역함수 y=g(x)\displaystyle y=g(x)의 그래프를 다음과 같이 얻을 수 있다.

역함수 g의 그래프와 수평점근선 y=±1
채점 기준배점
위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우1등급
위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우2등급
위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우3등급
위의 6가지 기준 중 ③과 ⑥ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우4등급
위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)5등급
위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우6등급
위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우7등급
위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우8등급
위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우9등급

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

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