약학부 3번

3-1.주어진 함수$\displaystyle f(x)=\ln\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}=\frac12(\ln(1+x)-\ln(1-x))$의 정의역은 다음과 같다.$\displaystyle \{x\mid-1<x<1\}$

이제 두 함수의 차 $\displaystyle f(x)-x$를 $\displaystyle h(x)$라 두자. 즉,$\displaystyle h(x)=f(x)-x$이다. 함수 $\displaystyle h(x)$를 미분하면$\displaystyle \begin{aligned}h^{\prime}(x)&=f^{\prime}(x)-1\\&=\frac12\left(\frac1{1+x}+\frac1{1-x}\right)-1\\&=\frac{x^2}{1-x^2}\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle 0<x<1$에서$\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 증가함수이다.

또한 $\displaystyle h(0)=0$이므로 $\displaystyle x>0$에 대하여$\displaystyle h(x)>h(0)=0$을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle x>0$에 대하여$\displaystyle f(x)>x$가 성립한다.

3-2.$\displaystyle y=f(x)$의 역함수 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭하여 얻을 수 있다. $\displaystyle y=f(x)$의 그래프를 그리기 위해 함수의 증감을 확인하면 다음과 같다. 정의역 $\displaystyle \{x\mid-1<x<1\}$에서$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{1-x^2}>0$이다. 한편$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2x}{(1-x^2)^2}$이다. 이로부터 점 $\displaystyle (0,0)$은 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 변곡점임을 알 수 있다.

또한$\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\infty$, $\displaystyle \lim_{x\to-1}f(x)=-\infty$이다. 따라서 두 직선 $\displaystyle x=1$과 $\displaystyle x=-1$이 점근선이 된다.

그리고$\displaystyle f^{\prime}(0)=1$이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 원점에서 $\displaystyle y=x$에 접한다. 이제 이를 이용하여 그래프를 그리면 다음과 같다.