자연계열 1번

(1) $\displaystyle 0\le x<1$일 때: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x^n=0$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{-x^{n+2}+ax^{n+1}+bx^n+c\cos\left(\frac{4\pi x}3\right)}{x^n+1}=c\cos\left(\frac{4\pi x}3\right)$$\displaystyle x=1$일 때: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}x^n=1$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{-x^{n+2}+ax^{n+1}+bx^n+c\cos\left(\frac{4\pi x}3\right)}{x^n+1}=\frac{-1+a+b-\frac c2}2$$\displaystyle x>1$일 때: $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac1{x^n}=0$, $\displaystyle -\frac1{x^n}\le\frac{\cos\left(\frac{4\pi x}3\right)}{x^n}\le\frac1{x^n}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(\frac{4\pi x}3\right)}{x^n}=0$이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac{-x^{n+2}+ax^{n+1}+bx^n+c\cos\left(\frac{4\pi x}3\right)}{x^n+1}&=\lim_{n\to\infty}\frac{-x^2+ax+b+\frac{\cos\left(\frac{4\pi x}3\right)}{x^n}}{1+\frac1{x^n}}\\&=-x^2+ax+b\end{aligned}$위의 세 경우를 종합하면 다음을 얻는다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}c\cos\frac{4\pi x}3,&0\le x<1\\\frac{-2+2a+2b-c}4,&x=1\\-x^2+ax+b,&x>1\end{cases}$ …… ㉠함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle [0,1)$과 $\displaystyle (1,\infty)$에서 연속이므로 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle x=1$에서 연속, 즉 $\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)$ 이면 된다. 각 극한을 구하면$\displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=c\cos\frac{4\pi}3=-\frac c2,\quad\lim_{x\to1^+}f(x)=-1+a+b$ …… ㉡이므로$\displaystyle a=1-b-\frac c2$ …… ㉢이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)$는 구간 $\displaystyle (0,1)$과 $\displaystyle (1,\infty)$에서 미분가능하다. 그러므로 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 미분가능하기 위해서는 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하면 된다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하면 $\displaystyle x=1$에서 연속이어야 하므로 식 ㉡으로부터$\displaystyle f(1)=c\cos\frac{4\pi}3=-1+a+b$이다. 따라서$\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^-}\frac{c\cos\frac{4\pi x}3-c\cos\frac{4\pi}3}{x-1}=-\frac{4\pi c}3\sin\frac{4\pi}3=\frac{2\pi c}{\sqrt3},$$\displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}\frac{(-x^2+ax+b)-(-1+a+b)}{x-1}=-2+a=-1-b-\frac c2$함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하려면 $\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$이어야 하므로$\displaystyle b=-1-\left(\frac12+\frac{2\pi}{\sqrt3}\right)c$ …… ㉣

(3) $\displaystyle c>0$일 때 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=\frac38$ 하나뿐이다. $\displaystyle x>1$일 때, 식 ㉠, ㉢, ㉣로부터$\displaystyle f(x)=-x^2+\left(2+\frac{2\pi c}{\sqrt3}\right)x-1-\left(\frac12+\frac{2\pi}{\sqrt3}\right)c=-\left(x-1-\frac{\pi c}{\sqrt3}\right)^2+\frac{\pi^2c^2}3-\frac c2$이므로, $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1+\frac{\pi c}{\sqrt3}$에서 최댓값 $\displaystyle \frac{\pi^2c^2}3-\frac c2$를 갖는다. 구간 $\displaystyle (1,\infty)$에서 $\displaystyle f(x)=0$이 꼭 하나의 해를 갖는 것은 $\displaystyle f(x)$의 최댓값이 0일 때이므로 $\displaystyle c=\frac3{2\pi^2}$이다.(참고: $\displaystyle c=\frac3{2\pi^2}$일 때 $\displaystyle f(x)=0$은 구간 $\displaystyle [0,\infty)$에서 두 점 $\displaystyle x=\frac38$, $\displaystyle x=1+\frac{\pi c}{\sqrt3}$만을 해로 갖는다.)