자연계열 4번

(1) 〈그림 1〉에서$\displaystyle \theta_1=\angle\mathrm{BAP}=\angle\mathrm{PAC},\quad\theta_2=\angle\mathrm{BPA}$라 하자. 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$와 $\displaystyle \mathrm{APC}$에 사인법칙을 적용하면 다음 두 식$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\theta_2}=\frac{\overline{\mathrm{BP}}}{\sin\theta_1}$ …… ㉠$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(\pi-\theta_2)}=\frac{\overline{\mathrm{PC}}}{\sin\theta_1}$ …… ㉡을 얻는다. 식 ㉡에서 $\displaystyle \sin(\pi-\theta_2)=\sin\theta_2$이므로$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin\theta_2}=\frac{\overline{\mathrm{PC}}}{\sin\theta_1}$ …… ㉢식 ㉠과 ㉢으로부터 다음 관계$\displaystyle \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{\overline{\mathrm{BP}}}{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{\overline{\mathrm{PC}}}{\overline{\mathrm{AC}}}$ …… ㉣를 얻을 수 있고 식 ㉣로부터 비례식$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{BP}}:\overline{\mathrm{PC}}$ …… ㉤이 성립함을 알 수 있다.

(2) $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=b$로 두면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=4$이므로 식 ㉤으로부터 다음 식이 성립한다.$\displaystyle \overline{\mathrm{BP}}:\overline{\mathrm{PC}}=\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}=4:b$ …… ㉥두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 $\displaystyle \mathrm{QPC}$는 닮은꼴이고 닮음비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}$의 비와 같으며 식 ㉥으로부터$\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}:\overline{\mathrm{PC}}=4+b:b$이다. 따라서 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 $\displaystyle \mathrm{QPC}$의 닮음비는 $\displaystyle \frac{4+b}b:1$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}}$가 평행하므로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$, $\displaystyle \mathrm{APQ}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}}$의 비와 같고 이것은 위에서 구한 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$와 $\displaystyle \mathrm{QPC}$의 닮음비와 같다. 즉, 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$와 $\displaystyle \mathrm{APQ}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \frac{4+b}b:1$이다.또 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}}$가 평행하고, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$는 각각 $\displaystyle \angle\mathrm{BAC}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{PQC}$의 이등분선이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$는 평행하다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$가 평행하면 앞에서와 마찬가지로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APQ}$와 $\displaystyle \mathrm{QPR}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}}$의 비와 같다. 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APC}$와 $\displaystyle \mathrm{QRC}$는 닮은꼴이고 닮음비는 앞에서와 마찬가지로 $\displaystyle \frac{4+b}b:1$이므로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{APQ}$와 $\displaystyle \mathrm{QPR}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \frac{4+b}b:1$이다. 앞에서와 같은 방법으로 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{QPR}$와 $\displaystyle \mathrm{QRS}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{QP}}$와 $\displaystyle \overline{\mathrm{SR}}$의 비와 같고 $\displaystyle \frac{4+b}b:1$이다.따라서 두 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABP}$와 $\displaystyle \mathrm{QRS}$의 넓이의 비는 $\displaystyle \left(\frac{4+b}b\right)^3:1$이다. 그런데 두 삼각형 넓이의 비가 $\displaystyle 27:1$이므로,$\displaystyle \left(\frac{4+b}b\right)^3=27,\quad b=2$$\displaystyle \angle B=\theta$로 두고 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에 코사인법칙을 적용하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{4^2+5^2-2^2}{2\times4\times5}=\frac{37}{40}$$\displaystyle 0<\theta<\pi$로부터 $\displaystyle \sin\theta>0$이므로$\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt{231}}{40}$따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는$\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{BC}}\times\sin\theta=\frac{4\times5}2\frac{\sqrt{231}}{40}=\frac{\sqrt{231}}4$이다.