자연계열 3번

(1) 점 $\displaystyle \mathrm P$, $\displaystyle \mathrm Q$, $\displaystyle \mathrm R$, $\displaystyle \mathrm S$가 모두 한 원 위의 점이고 원의 중심과 $\displaystyle \mathrm R$, $\displaystyle \mathrm S$가 $\displaystyle y$축 위에 있으므로 $\displaystyle \angle\mathrm{RPS}$, $\displaystyle \angle\mathrm{SQR}$은 직각이다. 주어진 조건을 만족하는 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 좌표를 $\displaystyle (r,-ar^2+c)$라고 하면 위의 점을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.직선 $\displaystyle \mathrm{PR}$ = 점 $\displaystyle \mathrm P$에서의 접선 : $\displaystyle y=2x-1$직선 $\displaystyle \mathrm{PS}$ = 점 $\displaystyle \mathrm P$에서의 접선에 수직이고 점 $\displaystyle \mathrm P$를 지나는 직선 : $\displaystyle y=-\frac12x+\frac32$직선 $\displaystyle \mathrm{QS}$ = 점 $\displaystyle \mathrm Q$에서의 접선 : $\displaystyle y=-2arx+ar^2+c$직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$ = 점 $\displaystyle \mathrm Q$에서의 접선에 수직이고 점 $\displaystyle \mathrm Q$를 지나는 직선 : $\displaystyle y=\frac1{2ar}x-ar^2-\frac1{2a}+c$따라서 다음이 성립한다.[점 $\displaystyle \mathrm R$의 $\displaystyle y$좌표] = [직선 $\displaystyle \mathrm{PR}$의 $\displaystyle y$절편] = [직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$의 $\displaystyle y$절편][점 $\displaystyle \mathrm S$의 $\displaystyle y$좌표] = [직선 $\displaystyle \mathrm{QS}$의 $\displaystyle y$절편] = [직선 $\displaystyle \mathrm{PS}$의 $\displaystyle y$절편]위로부터$\displaystyle -1=-ar^2-\frac1{2a}+c\Rightarrow ar^2=-\frac1{2a}+c+1$ …… ㉠$\displaystyle \frac32=ar^2+c\Rightarrow ar^2=\frac32-c$ …… ㉡를 얻을 수 있다. 식 ㉠, ㉡으로부터 $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$의 관계식은 다음과 같다.$\displaystyle -\frac1{2a}+c=\frac12-c\Rightarrow a(4c-1)=1$ …… ㉢(참고: 이때 식 ㉢에서 $\displaystyle a>0$이므로 $\displaystyle c>\frac14$이어야 하고, 식 ㉡에서 $\displaystyle ar^2>0$이므로 $\displaystyle c<\frac32$일 때 식 ㉡을 만족하는 $\displaystyle r$이 존재한다. 또 식 ㉠에서$\displaystyle -\frac1{2a}+c+1=-\frac{4c-1}2+c+1=-c+\frac32>0$이므로 $\displaystyle c<\frac32$일 때 식 ㉠을 만족하는 $\displaystyle r$이 존재한다.)

(2) $\displaystyle \mathrm P=(1,1)$, $\displaystyle \mathrm Q=(r,-ar^2+c)$일 때 $\displaystyle \mathrm R=(0,-1)$, $\displaystyle \mathrm S=\left(0,\frac32\right)$이다. 따라서 사각형 $\displaystyle \mathrm{PRQS}$의 넓이를 $\displaystyle r$로 나타내면 $\displaystyle \frac12\cdot\frac52\cdot(1-r)$이므로, 점 $\displaystyle \mathrm Q$의 $\displaystyle x$좌표가 가장 작을 때 사각형 $\displaystyle \mathrm{PRQS}$의 넓이가 최대임을 알 수 있다. 식 ㉡, ㉢으로부터$\displaystyle r^2=\frac{3-2c}{2a}=\frac{(3-2c)(4c-1)}2\Rightarrow r=-\sqrt{\frac{(3-2c)(4c-1)}2}\quad\left(\frac14<c<\frac32\right)$따라서 $\displaystyle (3-2c)(4c-1)$이 최댓값을 가질 때 $\displaystyle r$은 최솟값을 갖는다.$\displaystyle (3-2c)(4c-1)=-8\left(c-\frac78\right)^2+\frac{25}8$은 $\displaystyle c=\frac78$일 때 최댓값을 갖고 식 ㉢으로부터 $\displaystyle a=\frac25$이다. 그러므로 사각형 $\displaystyle \mathrm{PRQS}$의 넓이가 최대가 되도록 하는 함수 $\displaystyle g(x)$의 계수는$\displaystyle a=\frac25,\quad c=\frac78$이다.