자연계열 2번

(1) 제시문에 $\displaystyle f(t)=p(t)$, $\displaystyle g(t)=\frac13e^t$를 대입하고 $\displaystyle g^{\prime}(t)=g(t)$를 이용하면$\displaystyle \frac13\int p(t)e^t\,dt=\frac13p(t)e^t-\frac13\int p^{\prime}(t)e^t\,dt$를 얻을 수 있다. 또 위의 식으로부터$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^x\frac{p(t)+p^{\prime}(t)}3e^t\,dt&=\left.\frac13p(t)e^t\right|_0^x=\frac13(p(x)e^x-p(0))\quad\cdots\cdots\text{㉠}\\&=\frac13((x^2+bx+c)e^x-c)\end{aligned}$

(2) 식 ㉠은 도함수가 실수 전체에서 연속인 함수 $\displaystyle f(t)$에 대해 성립하므로 구간 $\displaystyle \left[0,\frac12\right]$에서$\displaystyle f_1\left(\frac12\right)=\int_0^{\frac12}\frac{f(t)+f^{\prime}(t)}3e^t\,dt=\left.\frac13f(t)e^t\right|_0^{\frac12}=\frac13\left(f\left(\frac12\right)\sqrt e-f(0)\right)$ …… ㉡$\displaystyle f(0)=0$이므로 $\displaystyle f_1\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt e}3f\left(\frac12\right)$이다.$\displaystyle f_n(x)$의 정의에 따라 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대해 $\displaystyle f_n(0)=0$이므로 식 ㉡을 $\displaystyle f_1(t)$에 적용하여 $\displaystyle f_2\left(\frac12\right)$을 구하면$\displaystyle f_2\left(\frac12\right)=\frac13f_1\left(\frac12\right)\sqrt e=\left(\frac{\sqrt e}3\right)^2f\left(\frac12\right)$따라서 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle f_{n+1}\left(\frac12\right)=\frac{\sqrt e}3f_n\left(\frac12\right)=\left(\frac{\sqrt e}3\right)^{n+1}f\left(\frac12\right)$이 성립하므로 $\displaystyle f_n\left(\frac12\right)$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{\sqrt e}3f\left(\frac12\right)$이고 공비 $\displaystyle \frac{\sqrt e}3$를 가지는 등비수열이다. 공비 $\displaystyle \frac{\sqrt e}3$는 1보다 작으므로 등비급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f_n\left(\frac12\right)$은 수렴하고 그 합은$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f\left(\frac12\right)\left(\frac{\sqrt e}3\right)^n=\frac{\sqrt e}3f\left(\frac12\right)\frac1{1-\frac{\sqrt e}3}=\frac{3\sqrt e}{3-\sqrt e}$이다.