경상계열 2번

숭실대 2025학년도 수시 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2025su/gyeongsang_2

문제 2 제시문 [가], [나], [다], [라]를 참고하여 각 문항에 답하시오. (50점)

[가] 첫째항이 $\displaystyle a$ 이고 첫째항부터 차례로 곱하는 일정한 수가 $\displaystyle r$ ( $\displaystyle r\ne0,1$ )인 수열의 일반항을 $\displaystyle a_n$ , 이 수열의 첫째항부터 제 $\displaystyle n$ 항까지의 합을 $\displaystyle S_n$ 이라고 하면, $\displaystyle a_n$ 과 $\displaystyle S_n$ 은 각각 $\displaystyle a_n=ar^{n-1}$ 과 $\displaystyle S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ 로 계산된다.[나] 모든 선택에는 선택을 통해 발생하는 이득인 ‘편익’ 뿐 아니라 선택의 대가인 ‘비용’도 존재한다. 선택에 따르는 경제적 비용을 ‘기회비용’이라고 하며, 기회비용은 ‘명시적 비용’과 ‘암묵적 비용’으로 구성된다. 명시적 비용은 선택에 의해 발생하는 직접적인 지출이고 암묵적 비용은 그 선택으로 인해 포기한 다른 대안의 가치( $\displaystyle =$ 대안의 편익 $\displaystyle -$ 대안의 명시적 비용)이다. 편익에서 비용을 뺀 것을 ‘순편익’이라고 한다. 선택의 문제에서 비용과 편익을 분석하여 의사결정을 하는 방식을 ‘비용-편익 분석’이라고 한다. 비용-편익 분석에서 합리적인 선택은 순편익이 가장 큰 선택안을 고르는 것이다. 이때 비용은 기회비용을 의미한다.[다] $\displaystyle S$ 국은 매년 조사를 통해 15세 이상 인구를 경제 활동 인구와 비경제 활동 인구로 구분한다. 이러한 인구 통계 수치는 고용률, 취업률, 실업률 등의 고용 지표 산출을 위해 사용된다. 고용률은 15세 이상 인구에서 취업자가 차지하는 비율이다. 취업률은 경제 활동 인구에서 취업자가 차지하는 비율이다. 실업률은 경제 활동 인구에서 실업자가 차지하는 비율이다.[라] 한 번의 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle p$ 일 때 $\displaystyle n$ 회의 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 횟수를 $\displaystyle X$ 라고 정의하면, 이 확률변수 $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle B(n,p)$ 를 따르고 기댓값(평균)은 $\displaystyle E(X)=np$ , 분산은 $\displaystyle V(X)=npq$ , 표준편차는 $\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{npq}$ 가 된다. 그리고 $\displaystyle n$ 이 충분히 크다면 $\displaystyle X$ 는 근사적으로 정규분포 $\displaystyle N(np,npq)$ 를 따르게 된다(단, $\displaystyle q=1-p$ ).

〈주의사항: 답안 작성 시 결과를 도출하는 과정을 반드시 서술하시오.〉

[문항 1] 숭실반도체는 증가하는 반도체 수요에 맞춰 제품을 납품하기 위해 〈표 1〉의 생산계획안 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 중 한 가지를 선택하여 일일 생산량을 일정한 비율로 늘리려고 한다. 숭실반도체는 납품 후 남는 제품을 재고로 보관하고 있으며 이때 재고에서 발생하는 이익이나 비용은 없다. 생산계획안 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 는 4일 동안 운영되고 중간에 멈출 수 없다. 〈표 1〉의 총지출과 총편익은 각 생산계획안을 실행하기 위한 4일 동안의 총금액이며, 〈표 1〉에 제시된 정보 이외에 제품 생산에 영향을 미치는 다른 요인은 없다. 제시문 [가], [나]를 바탕으로 〈표 1〉을 이용하여 물음에 답하시오. (30점)

<표 1> 숭실반도체의 생산계획안
생산계획안	첫날 생산량	일일 생산량 증가율	총지출	총편익
$A$	9000개	10%	5000만원	6500만원
$B$	8000개	20%	4000만원	6000만원

(1-1) 생산계획안 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 의 일일 생산량이 처음으로 11000개를 초과하는 날은 각 생산계획안의 몇 번째 날인지 구하시오.

(1-2) 생산계획안 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 각각의 4일간의 총생산량을 구하시오.

(1-3) 숭실반도체는 해외 스마트폰 제조기업과 4일 후 총 41000개 제품을 납품하기로 계약하였다. 숭실반도체의 합리적인 선택을 제안하시오.

[문항 2] 〈표 2〉는 $\displaystyle S$ 국의 2021년~2023년 기간의 고용 지표 중, 고용률과 취업률 추이에 대한 정보이다. 제시문 [다], [라]를 바탕으로 〈표 2〉, 〈표 3〉을 이용하여 물음에 답하시오. (20점)

<표 2> $S$ 국의 고용률과 취업률 추이
고용 지표	2021년	2022년	2023년
고용률	74%	72%	70%
취업률	75%	78%	80%

<표 3> 표준정규분포표
$z$	0.5	1.0	1.5	2.0
$P(0\le Z\le z)$	0.19	0.34	0.43	0.48

(2-1) 2021년~2023년 동안 $\displaystyle S$ 국의 취업자 수가 일정하다고 할 때, 이 기간에 $\displaystyle S$ 국의 비경제 활동 인구 추이에 대해 설명하시오.

(2-2) $\displaystyle S$ 국의 한 진로취업센터에서는 2024년 6월 대학교 4학년 1600명을 대상으로 취업 지원프로그램을 운영 중이다. 이들 중 취업에 성공하는 사람이 1264명 이상 1312명 이하일 확률을 구하시오(단, 해당 취업 지원프로그램 참가자 개개인이 취업에 성공할 확률은 2024년 $\displaystyle S$ 국 취업률과 동일하고, 2024년 $\displaystyle S$ 국의 고용 지표는 2023년과 동일함).

해설강의 준비중

숭실대 2025학년도 수시 경상계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2025su/gyeongsang_2

(1-1) · 평가기준 1: 생산계획안

\displaystyle A

와

\displaystyle B

의 일반항을 올바르게 제시 평가기준 2: 생산계획안

\displaystyle A

와

\displaystyle B

의 일일생산량이 처음으로 11000개를 초과하는 날을 정확하게 제시

[문항 1](1-1)생산계획안 $\displaystyle A$ 의 $\displaystyle n$ 번째 날의 일일 생산량을 $\displaystyle a_n$ , 생산계획안 $\displaystyle B$ 의 $\displaystyle n$ 번째 날의 일일 생산량을 $\displaystyle b_n$ 이라 하면 생산계획안 $\displaystyle A$ 의 일반항 $\displaystyle a_n=9000\times1.1^{n-1}$ , 생산계획안 $\displaystyle B$ 의 일반항 $\displaystyle b_n=8000\times1.2^{n-1}$ 이다. 이를 바탕으로 생산계획안 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 각각의 일일 생산량을 계산해 보면 4일째 생산계획안 $\displaystyle A$ 의 일일 생산량은 $\displaystyle a_4=9000\times1.1^3=9000\times1.331=11979$ 이고 3일째 생산계획안 $\displaystyle B$ 의 일일 생산량은 $\displaystyle b_3=8000\times1.2^2=8000\times1.440=11520$ 이다. 따라서, 생산계획안 $\displaystyle A$ 는 4일째에 일일 생산량이 11000개를 넘고 생산계획안 $\displaystyle B$ 는 3일째에 일일 생산량이 11000개를 넘는다.

(1-2) · 평가기준 3: 생산계획안

\displaystyle A

와

\displaystyle B

의 총생산량을 계산하는 방법(등비수열의 합)을 올바르게 제시 평가기준 4: 생산계획안

\displaystyle A

와

\displaystyle B

의 총생산량을 정확하게 제시

(1-2)생산계획안 $\displaystyle A$ 의 총생산량 $\displaystyle S_4=[9000(1.1^4-1)]/(1.1-1)=[9000(1.4641-1)]/(1.1-1)=41769$ 이고 생산계획안 $\displaystyle B$ 의 총생산량 $\displaystyle T_4=[8000(1.2^4-1)]/(1.2-1)=[8000(2.0736-1)]/(1.2-1)=42944$ 이다.

(1-3) · 평가기준 5: 비용-편익 분석을 올바르게 사용(1점) 평가기준 6: 합리적 선택이 생산계획안

\displaystyle A

임을 정확하게 제시

Correction. 순편익이 큰 계획은 B이므로 평가기준 6의 A는 B로 적어야 한다. 그러나 원문 표기는 그대로 실었다.

(1-3)합리적 선택을 위해서는 ‘비용-편익 분석’을 통해 ‘순편익’이 최대가 되는 생산계획안을 선택하면 된다. 생산계획안 $\displaystyle A$ 의 순편익은 6500만원에서 기회비용을 빼면 되므로 6500만원에서 5000만원과 2000만원의 합을 빼면 $\displaystyle -500$ 만원이다. 생산계획안 $\displaystyle B$ 의 순편익은 6000만원에서 기회비용을 빼면 되므로 6000만원에서 4000만원과 1500만원의 합을 빼면 500만원이다. 따라서 순편익이 양수인 생산계획안 $\displaystyle B$ 를 따르는 것이 합리적인 선택이다.

(2-1) · 평가기준 7: 주어진 고용 지표 공식을 올바르게 사용 평가기준 8: 비경제 활동 인구가 늘어남을 정확하게 제시

[문항 2](2-1)〈표 2〉로부터 $\displaystyle S$ 국의 2021년~2023년 고용률은 하락하고 취업률이 상승하고 있다. 또한 (2-1)의 문항에서 “2021년~2023년 $\displaystyle S$ 국의 취업자 수가 일정하다.”라는 정보를 종합하여 취업률 공식으로부터 취업률이 상승을 위해서는 취업자 수가 일정할 때 경제 활동 인구는 감소하여야 한다는 것을 알 수 있다. 또한, 고용률 공식으로부터 고용률 하락을 위해서는 취업자 수가 일정할 때 15세 이상 인구는 증가하여야 한다. 이를 종합하면, 2021년~2023년 $\displaystyle S$ 국의 15세 이상 인구가 증가하기 위해서는 경제 활동 인구가 감소하고 있어 비경제 활동 인구는 반드시 증가하여야 한다.

(2-2) · 평가기준 9: 이항분포의 확률을 올바르게 제시하고 확률분포의 평균과 분산을 정확하게 계산하여 제시한 경우 평가기준 10: 해당 조건의 확률을 정확하게 제시

(2-2)2024년 6월 해당 취업 지원프로그램에 참가하고 있는 대학교 4학년 개개인이 취업에 성공할 확률은 2023년 $\displaystyle S$ 국의 취업률과 같고 2024년 $\displaystyle S$ 국의 고용 지표는 2023년과 같아 80% 즉, 0.80이다. 따라서, $\displaystyle S$ 국 한 진로취업센터에서 운영하는 취업 지원프로그램의 확률분포 $\displaystyle X$ 는 이항분포 $\displaystyle B(1600,0.8)$ 을 따른다. 확률분포 $\displaystyle X$ 의 $\displaystyle E(X)=1600\times0.8=1280$ , $\displaystyle X$ 의 $\displaystyle V(X)=1600\times0.8\times0.2=256$ , $\displaystyle X$ 의 $\displaystyle \sigma(X)=16$ 을 먼저 계산한다. 그리고, 이항분포와 정규분포와의 관계에서 확률변수 $\displaystyle Z=(X-1280)/16$ 은 표준정규분포 $\displaystyle N(0,1)$ 을 따르므로 구하는 확률은 $\displaystyle P(1264\le X\le1312)=P((1264-1280)/16\le Z\le(1312-1280)/16)=P(-1\le Z\le2)=P(0\le Z\le1)+P(0\le Z\le2)=0.34+0.48=0.82$ , 82%이다.

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