자연계열 1번

조건 1)과 2)에 의하여, $\displaystyle g(x)$는 이차식이다. 따라서 $\displaystyle h(x)$도 이차식이다.(a) $\displaystyle g(x)$의 개수$\displaystyle g(x)=(x-b)^2+c=x^2-2bx+b^2+c$로 나타낼 수 있다. 이때 $\displaystyle 1\le c\le2$이다.$\displaystyle g(x)$의 계수가 모두 정수이기 위해서는 $\displaystyle b=0$, $\displaystyle b=\frac12$ 또는 $\displaystyle b=1$이어야 한다.$\displaystyle b=0$이면 $\displaystyle g(x)=x^2+c$이고 $\displaystyle c=1$ 또는 $\displaystyle c=2$이다.$\displaystyle b=\frac12$이면 $\displaystyle g(x)=x^2-x+\frac14+c$이다. 모든 계수가 정수이고 $\displaystyle 1\le c\le2$이면 $\displaystyle c=\frac74$이다.$\displaystyle b=1$이면 $\displaystyle g(x)=x^2-2x+1+c$이고 $\displaystyle c=1$ 또는 $\displaystyle c=2$이다.따라서 위의 조건을 만족시키는 다항식 $\displaystyle g(x)$의 개수는 5개이다.(b) $\displaystyle h(x)$의 개수다항식 $\displaystyle g(x)$가 이차식이므로 $\displaystyle h(x)=0$은 이차방정식이다.만약 $\displaystyle h(x)=0$이 중근을 갖는다면 조건 4)를 만족시키는 $\displaystyle h(x)$의 개수는 $\displaystyle 10$개이다.만약 $\displaystyle h(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 갖는다면, 조건 4)를 만족시키는 $\displaystyle h(x)$의 개수는 $\displaystyle {}_{10}\mathrm{C}_2=45$개이다. 종합하면 $\displaystyle h(x)$의 개수는 $\displaystyle 55$개이다.방정식 $\displaystyle g(x)=0$의 모든 근은 허근이므로, 다항식 $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$는 서로 중복되지 않는다.따라서 위의 조건을 모두 만족시키는 다항식 $\displaystyle f(x)=g(x)h(x)$의 개수는 $\displaystyle 5\times55=275$개다.