자연계열 3번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)g(x)$와 $\displaystyle g(f(x))$는 $\displaystyle x\ne-1$일 때 항상 연속이다.$\displaystyle f(x)g(x)$가 $\displaystyle x=-1$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle \lim_{x\to-1-}f(x)g(x)=\lim_{x\to-1+}f(x)g(x)$여야 한다.$\displaystyle \lim_{x\to-1-}f(x)g(x)=-(1-a+c),\quad\lim_{x\to-1+}f(x)g(x)=2(1-a+c)$이므로 $\displaystyle 1-a+c=0$이다.$\displaystyle g(f(x))$가 $\displaystyle x=-1$에서 연속이기 위해서는 $\displaystyle \lim_{x\to-1-}g(f(x))=\lim_{x\to-1+}g(f(x))$, 즉 $\displaystyle g(-1)=g(2)$이어야 하므로 $\displaystyle 1-a=4+2b$, 즉 $\displaystyle a=-2b-3$이다.$\displaystyle 1-a+c=0$이므로 $\displaystyle c=-2b-4$이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-1$에서 연속이 아니므로, $\displaystyle f(g(x)+3)$이 연속이기 위해서는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)+3<-1$이거나 $\displaystyle g(x)+3\ge-1$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle \lim_{x=\pm\infty}g(x)=\infty$이므로 $\displaystyle g(x)+3<-1$일 수는 없다.Correction. 극한 기호 아래의 $\displaystyle x=\pm\infty$는 $\displaystyle x\to\pm\infty$로 적어야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)+3\ge-1$, 즉 $\displaystyle g(x)\ge-4$이어야 한다.문항 (1)로부터 함수 $\displaystyle g(x)$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.$\displaystyle g(x)=\begin{cases}x^2-(2b+3)x-(2b+4)&(x<0)\\x^2+bx-(2b+4)&(x\ge0)\end{cases}$정의역이 $\displaystyle x\le0$인 함수 $\displaystyle g_-(x)=x^2-(2b+3)x-(2b+4)$와, 정의역이 $\displaystyle x\ge0$인 함수 $\displaystyle g_+(x)=x^2+bx-(2b+4)$를 생각하자.(a) 함수 $\displaystyle g_-(x)$가 $\displaystyle x<0$에서 최솟값을 갖는 경우$\displaystyle g_-(x)$의 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle b+\frac32$이 $\displaystyle 0$보다 작으므로 $\displaystyle b<-\frac32$이고, 함수 $\displaystyle g_-(x)$는 $\displaystyle x=b+\frac32$일 때 최솟값을 갖는다. 또한 함수 $\displaystyle g_+(x)$는 $\displaystyle x=-\frac b2$에서 최솟값을 갖는다.따라서 $\displaystyle g(x)\ge-4$이기 위해서는$\displaystyle g_-\left(b+\frac32\right)=-b^2-5b-\frac{25}4\ge-4\ \Rightarrow\ -\frac92\le b\le-\frac12,$$\displaystyle g_+\left(-\frac b2\right)=-\frac{b^2}4-2b-4\ge-4\ \Rightarrow\ -8\le b\le0$이어야 한다.종합하면 $\displaystyle b<-\frac32$, $\displaystyle -\frac92\le b\le-\frac12$, $\displaystyle -8\le b\le0$이 동시에 성립해야 한다.따라서 함수 $\displaystyle g_-(x)$가 $\displaystyle x<0$에서 최솟값을 갖는 경우 주어진 조건을 만족시키는 $\displaystyle b$의 범위는 $\displaystyle -\frac92\le b<-\frac32$이다.(b) 함수 $\displaystyle g_-(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 최솟값을 갖는 경우$\displaystyle g_-(x)$의 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle b+\frac32$이 $\displaystyle 0$보다 크거나 같으므로 $\displaystyle b\ge-\frac32$이다.i) $\displaystyle b>0$일 경우 함수 $\displaystyle g_+(x)$ 역시 $\displaystyle x=0$에서 최솟값을 갖는다.이때 함수 $\displaystyle g(x)$의 최솟값은 $\displaystyle -2b-4$이며, 이 값이 $\displaystyle -4$보다 크거나 같을 조건은 $\displaystyle b\le0$이므로 주어진 조건을 만족시키는 $\displaystyle b$는 존재하지 않는다.ii) $\displaystyle -\frac32\le b\le0$일 경우 함수 $\displaystyle g_+(x)$는 $\displaystyle x=-\frac b2$에서 최솟값을 가지고, $\displaystyle g_+\left(-\frac b2\right)\ge-4$일 조건은 $\displaystyle -8\le b\le0$이다.따라서 함수 $\displaystyle g_-(x)$가 $\displaystyle x=0$에서 최솟값을 갖는 경우 주어진 조건을 만족시키는 $\displaystyle b$의 범위는 $\displaystyle -\frac32\le b\le0$이다.(a), (b)로부터 $\displaystyle -\frac92\le b<-\frac32$ 또는 $\displaystyle -\frac32\le b\le0$이므로, 구하는 실수 $\displaystyle b$의 범위는 $\displaystyle -\frac92\le b\le0$이다.