자연계열 4번

컵의 높이를 $\displaystyle h$, 반지름을 $\displaystyle r$라고 하자.주어진 조건을 만족시키면서 컵의 겉넓이가 최소가 되기 위해서는, 물을 $\displaystyle 54\pi$만큼 넣었을 때 컵의 높이와 수면의 높이의 차이가 정확히 $\displaystyle 3$이어야 한다. 따라서 다음 식이 성립한다.$\displaystyle \pi r^2(h-3)=54\pi$이때 $\displaystyle h=3+\frac{54}{r^2}$이고, 문제의 조건으로부터 컵의 겉넓이 $\displaystyle A$는 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle A(r)=\pi r^2+2\pi rh=\pi r^2+2\pi r\left(3+\frac{54}{r^2}\right)\quad(r>0)$$\displaystyle A^{\prime}(r)=2\pi r+6\pi-\frac{108\pi}{r^2}=\frac{2\pi(r^3+3r^2-54)}{r^2}=\frac{2\pi(r-3)(r^2+6r+18)}{r^2}$로부터 $\displaystyle A^{\prime}(3)=0$이고, 함수 $\displaystyle A(r)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

그러므로 $\displaystyle r=3$일 때 겉넓이가 최소가 되며 이때 컵의 겉넓이는 $\displaystyle A(3)=63\pi$이다.