자연계열 2번

구하는 넓이는 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 둘러싸인 부분의 넓이와, 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 더한 것과 같다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}e^{-x}\cos x&\left(0\le x<\frac\pi2\right)\\-e^{-x}\cos x&\left(\frac\pi2\le x\le\pi\right)\end{cases}$이므로 다음과 같이 경우를 나누어 보자.(a) $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$이 구간에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2e^{-x}\sin x>0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 아래로 볼록하다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 점 $\displaystyle \mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=g(x)$라고 하면 $\displaystyle f(0)=g(0)$이고 $\displaystyle f\left(\frac\pi2\right)=g\left(\frac\pi2\right)$이므로, 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 $\displaystyle g(x)\ge f(x)$가 성립한다.따라서 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(g(x)-f(x))\,dx$이다.$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}g(x)\,dx$는 밑변의 길이가 $\displaystyle \frac\pi2$이고 높이가 $\displaystyle 1$인 직각삼각형의 넓이이므로 $\displaystyle \frac\pi4$와 같다.부분적분법으로부터 $\displaystyle \int e^{-x}\cos x\,dx=\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)+C$이고, 따라서$\displaystyle -\int_0^{\frac\pi2}f(x)\,dx=-\Biggl[\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)\Biggr]_0^{\frac\pi2}=-\frac12e^{-\frac\pi2}-\frac12$그러므로 $\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(g(x)-f(x))\,dx=\frac\pi4-\frac12e^{-\frac\pi2}-\frac12$이다.(b) $\displaystyle \frac\pi2<x<\pi$이 구간에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-2e^{-x}\sin x<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프는 위로 볼록하다.점 $\displaystyle \mathrm{B}$와 점 $\displaystyle \mathrm{C}$를 지나는 직선의 방정식을 $\displaystyle y=h(x)$라고 하면 $\displaystyle f\left(\frac\pi2\right)=h\left(\frac\pi2\right)$이고 $\displaystyle f(\pi)=h(\pi)$이므로, 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 $\displaystyle f(x)\ge h(x)$가 성립한다.따라서 닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 선분 $\displaystyle \mathrm{BC}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\pi}(f(x)-h(x))\,dx$이다.$\displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\pi}h(x)\,dx$는 밑변의 길이가 $\displaystyle \frac\pi2$이고 높이가 $\displaystyle e^{-\pi}$인 직각삼각형의 넓이이므로 $\displaystyle \frac{\pi e^{-\pi}}4$와 같다.닫힌구간 $\displaystyle \left[\frac\pi2,\pi\right]$에서 $\displaystyle f(x)=-e^{-x}\cos x$이므로$\displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\pi}f(x)\,dx=\Biggl[-\frac12e^{-x}(\sin x-\cos x)\Biggr]_{\frac\pi2}^{\pi}=\frac12e^{-\frac\pi2}-\frac12e^{-\pi}$이고,$\displaystyle \int_{\frac\pi2}^{\pi}(f(x)-h(x))\,dx=\frac12e^{-\frac\pi2}-\frac12e^{-\pi}-\frac{\pi e^{-\pi}}4$이다.그러므로 구하는 넓이는$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(g(x)-f(x))\,dx+\int_{\frac\pi2}^{\pi}(f(x)-h(x))\,dx=\frac\pi4-\frac{\pi e^{-\pi}}4-\frac12e^{-\pi}-\frac12$이다.