자연계열 1번

(문제 1-1 해설) $\displaystyle (f(1)-g(1))(f(3)-g(3))<0$이므로$\displaystyle (f(1)-g(1))>0,\ (f(3)-g(3))<0$또는 $\displaystyle (f(1)-g(1))<0,\ (f(3)-g(3))>0$이다.

(i) $\displaystyle (f(1)-g(1))>0,\ (f(3)-g(3))<0$일 때$\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)$라고 하자. 그러면 $\displaystyle h:[1,3]\to R$는 연속이고$\displaystyle h(1)=f(1)-g(1)>0$이고 $\displaystyle h(3)=f(3)-g(3)<0$이므로 사이값(중간값)정리에 의해서$\displaystyle c\in(1,3)$가 존재하여 $\displaystyle h(c)=0$, 즉, $\displaystyle f(c)=g(c)$이 성립.

(ii) 같은 방법으로, $\displaystyle (f(1)-g(1))<0,\ (f(3)-g(3))>0$일 때$\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)$라고 하자. 그러면 $\displaystyle h:[1,3]\to R$는 연속이고$\displaystyle h(1)=f(1)-g(1)<0$이고 $\displaystyle h(3)=f(3)-g(3)>0$이므로 사이값(중간값)정리에 의해서$\displaystyle h(c)=0$, 즉, $\displaystyle f(c)=g(c)$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에 적어도 하나 존재한다.Correction. 여기서 열린구간 $\displaystyle (a,b)$는 $\displaystyle (1,3)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(문제 1-2 해설) 점 $\displaystyle A(2,1)$를 $\displaystyle x$축에 대칭 이동한 점을 $\displaystyle A^{\prime}$, 직선 $\displaystyle y=x$에 대칭 이동한 점을 $\displaystyle A^{\prime\prime}$이라고 하면, $\displaystyle A^{\prime}(2,-1),\ A^{\prime\prime}(1,2)$이 된다.

여기서 직선 $\displaystyle A^{\prime}A^{\prime\prime}$이 직선 $\displaystyle y=x$와 만나는 점이 $\displaystyle B$, $\displaystyle x$축과 만나는 점이 $\displaystyle C$일 때, 모두가 일직선상에 놓여야, 삼각형 $\displaystyle ABC$의 둘레의 길이는 최소가 된다.

따라서 최솟값은 선분 $\displaystyle A^{\prime}A^{\prime\prime}$의 길이이고$\displaystyle \sqrt{(2-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{10}$이다.

또한 두 점 $\displaystyle A^{\prime}(2,-1),\ A^{\prime\prime}(1,2)$을 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-3x+5$.$\displaystyle y=-3x+5$과 $\displaystyle y=x$의 교점을 구하면 $\displaystyle B=\left(\frac54,\frac54\right)$$\displaystyle y=-3x+5$과 $\displaystyle x$축의 교점을 구하면 $\displaystyle C=\left(\frac53,0\right)$