자연계열 2번

(문제2-1 해설) (방법-1)

그림과 같이 좌표축을 설정하고, 꼭지점의 좌표를 $\displaystyle S(x,y)$라고 하자.

그러면 직사각형의 둘레 $\displaystyle A$는$\displaystyle A=2(\text{가로}+\text{세로})=2((8-2x)+y)$이다. 이때 포물선 $\displaystyle y=ax(x-8)$이라고 하자. 점 $\displaystyle (4,6)$을 지나므로 대입하면 $\displaystyle a=-\frac38$을 얻고, 포물선은$\displaystyle y=-\frac38x(x-8)=-\frac38x^2+3x$이다. 따라서 직사각형의 둘레는$\displaystyle A=-\frac34x^2+2x+16=-\frac34\left(x-\frac43\right)^2+\frac43+16$로부터 $\displaystyle x=\frac43$일 때 최댓값을 갖는다. 따라서 직사각형의 둘레의 최댓값은$\displaystyle A=\frac43+16=\frac{52}{3}$이다.

(문제2-2 해설) (방법-1)

그림과 같이 좌표축을 설정하고, 꼭지점의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{S}(x,y)$라고 하자.

그러면 등변사다리꼴의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\frac{(\text{밑변}+\text{윗변})}{2}\times\text{높이}=\frac12(8+8-2x)y=(8-x)y$이다. 이때 포물선 $\displaystyle y=ax(x-8)$이라고 하자. 점 $\displaystyle (4,6)$을 지나므로 대입하면 $\displaystyle a=-\frac38$을 얻고, 포물선은$\displaystyle y=-\frac38x(x-8)=-\frac38x^2+3x$이다. 따라서 등변사다리꼴의 넓이는$\displaystyle S=(8-x)y=(8-x)\left(-\frac38\right)x(x-8)$이고$\displaystyle \frac{dS}{dx}=\frac98x^2-12x+24=0$로부터 $\displaystyle x=8\text{(부적합)},\ \frac83\text{(적합)}$이다. 따라서 등변사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle S=\left(\frac{16}{3}\right)^2=\frac{256}{9}$.