연세대 미래캠퍼스 2019학년도 수시 자연계열 2번 해설

【문제 2】아래 제시문을 읽고 문제에 답하시오. (30점)

미분가능한 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$ 이고 $\displaystyle x=a$ 의 좌우에서

(i) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.

(ii) $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 극소이고, 극솟값 $\displaystyle f(a)$ 를 갖는다.

가로의 길이가 8이고 세로의 길이가 6인 직사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$ 의 내부에 두 점 $\displaystyle \mathrm{A},\mathrm{B}$ 와 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$ 의 중점을 지나는 포물선이 있다. 그림과 같이 직사각형 $\displaystyle \mathrm{PQRS}$ 의 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$ 는 선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$ 위에 있고, 두 점 $\displaystyle \mathrm{R},\mathrm{S}$ 는 포물선 위에 있다.

(문제 2-1) 직사각형 $\displaystyle \mathrm{PQRS}$ 의 둘레의 길이의 최댓값을 구하시오.

(문제 2-2) 등변사다리꼴 $\displaystyle \mathrm{ABRS}$ 의 넓이의 최댓값을 구하시오.

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(문제2-1 해설) (방법-1)

그림과 같이 좌표축을 설정하고, 꼭지점의 좌표를 $\displaystyle S(x,y)$ 라고 하자.

그러면 직사각형의 둘레 $\displaystyle A$ 는 $\displaystyle A=2(\text{가로}+\text{세로})=2((8-2x)+y)$ 이다. 이때 포물선 $\displaystyle y=ax(x-8)$ 이라고 하자. 점 $\displaystyle (4,6)$ 을 지나므로 대입하면 $\displaystyle a=-\frac38$ 을 얻고, 포물선은 $\displaystyle y=-\frac38x(x-8)=-\frac38x^2+3x$ 이다. 따라서 직사각형의 둘레는 $\displaystyle A=-\frac34x^2+2x+16=-\frac34\left(x-\frac43\right)^2+\frac43+16$ 로부터 $\displaystyle x=\frac43$ 일 때 최댓값을 갖는다. 따라서 직사각형의 둘레의 최댓값은 $\displaystyle A=\frac43+16=\frac{52}{3}$ 이다.

(문제2-2 해설) (방법-1)

그림과 같이 좌표축을 설정하고, 꼭지점의 좌표를 $\displaystyle \mathrm{S}(x,y)$ 라고 하자.

그러면 등변사다리꼴의 넓이 $\displaystyle S$ 는 $\displaystyle S=\frac{(\text{밑변}+\text{윗변})}{2}\times\text{높이}=\frac12(8+8-2x)y=(8-x)y$ 이다. 이때 포물선 $\displaystyle y=ax(x-8)$ 이라고 하자. 점 $\displaystyle (4,6)$ 을 지나므로 대입하면 $\displaystyle a=-\frac38$ 을 얻고, 포물선은 $\displaystyle y=-\frac38x(x-8)=-\frac38x^2+3x$ 이다. 따라서 등변사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle S=(8-x)y=(8-x)\left(-\frac38\right)x(x-8)$ 이고 $\displaystyle \frac{dS}{dx}=\frac98x^2-12x+24=0$ 로부터 $\displaystyle x=8\text{(부적합)},\ \frac83\text{(적합)}$ 이다. 따라서 등변사다리꼴의 넓이는 $\displaystyle S=\left(\frac{16}{3}\right)^2=\frac{256}{9}$ .

[문제 2-1] (10점)Correction. 채점기준의 내용과 배점이 이 문항의 내용 및 30점 배점과 다르다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.(상) $\displaystyle S_n$ 의 유도설명과 $\displaystyle S_{16}$ 의 답이 맞은 경우(중) 둘 중에 하나만 맞은 경우(하) 모두 구하지 못한 경우

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자연계열 2번

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