의예과 2번

(문제 2-1) 점 P의 시각 $\displaystyle t$에서의 속도 $\displaystyle v(t)$가 $\displaystyle v(t)=t^2\sin(\pi t)$일 때, 점 P가 시각 $\displaystyle t=0$에서 $\displaystyle t=2$까지 움직인 거리는 $\displaystyle S=\int_0^2|v(t)|\,dt$이다.

속도함수 $\displaystyle v(t)$의 부호는 구간 [0,1]에서 $\displaystyle v(t)\geq0$, 구간 [1,2]에서 $\displaystyle v(t)\leq0$따라서 $\displaystyle S=\int_0^2|v(t)|\,dt=\int_0^1v(t)\,dt-\int_1^2v(t)\,dt$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1t^2\sin\pi t\,dt&=\Biggl[-\frac{t^2}{\pi}\cos\pi t\Biggr]_0^1-\frac{-2}{\pi}\int_0^1t\cos\pi t\,dt\\&=\frac1\pi+\frac2\pi\left\{\Biggl[-\frac{t}{\pi}\sin\pi t\Biggr]_0^1-\frac1\pi\int_0^1\sin\pi t\,dt\right\}\\&=\frac1\pi+\frac2\pi\left\{0+\frac1\pi\Biggl[\frac1\pi\cos\pi t\Biggr]_0^1\right\}\\&=\frac1\pi+\frac2\pi\left\{\frac1\pi\left(-\frac1\pi-\frac1\pi\right)\right\}\}=\frac1\pi+\frac{-4}{\pi^3}=\frac{\pi^2-4}{\pi^3}\end{aligned}$Correction. 부분적분으로 생긴 경계항 $\displaystyle \Biggl[-\frac{t}{\pi}\sin(\pi t)\Biggr]_0^1$의 앞 부호는 $\displaystyle +$가 맞다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^2t^2\sin\pi t\,dt&=\Biggl[-\frac{t^2}{\pi}\cos\pi t\Biggr]_1^2-\frac{-2}{\pi}\int_1^2t\cos\pi t\,dt\\&=-\frac4\pi-\frac1\pi+\frac2\pi\left\{\Biggl[\frac{t}{\pi}\sin\pi t\Biggr]_1^2-\frac1\pi\int_1^2\sin\pi t\,dt\right\}\\&=-\frac5\pi+\frac2\pi\left\{0+\frac1\pi\Biggl[\frac1\pi\cos\pi t\Biggr]_1^2\right\}\\&=-\frac5\pi+\frac2{\pi^3}(1-(-1))=\frac{-5\pi^2+4}{\pi^3}\end{aligned}$

$\displaystyle S=\int_0^2|v(t)|\,dt=\frac{\pi^2-4}{\pi^3}-\left(\frac{-5\pi^2+4}{\pi^3}\right)=\frac{6\pi^2-8}{\pi^3}$

(문제 2-2)$\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 세 점 A, B, O를 지나므로$\displaystyle f(x)=\alpha x(x+3\sqrt3)(x-3\sqrt3)=\alpha(x^3-27x)$라 놓는다.$\displaystyle \Rightarrow f^{\prime}(x)=\alpha(3x^2-27)=0$에서 근 $\displaystyle x=\pm3$을 얻는다.$\displaystyle f(x)$의 극댓값은 3이므로 $\displaystyle 3=f(-3)=\alpha(-27+27\times3)=54\alpha$에서$\displaystyle \alpha=\frac3{54}=\frac1{18}$를 얻는다.

$\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 두 점 A, B를 지나고 $\displaystyle x=0$에서 극솟값 $\displaystyle -3$을 가지므로$\displaystyle g(x)=\beta(x+3\sqrt3)(x-3\sqrt3)=\beta(x^2-27),\ g(0)=\beta(-27)=-3\ \Rightarrow\ \beta=\frac19$

정리하면 $\displaystyle f(x)=\frac1{18}(x^3-27x),\quad g(x)=\frac19(x^2-27)$

교점을 구하기 위해 $\displaystyle f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ x^3-27x=2x^2-54\ \Rightarrow\ (x^2-27)(x-2)=0$따라서 남은 한 교점의 $\displaystyle x$값은 2이고, 두 곡선 사이의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_{-3\sqrt3}^2f(x)-g(x)\,dx=\int_{-3\sqrt3}^2\frac1{18}(x^3-27x)-\frac{x^2-27}{9}\,dx\\&=\cdots=\frac{2819}{216}+6\sqrt3\end{aligned}$