자연계열 3번

(문제 3-1)

위의 대응관계로부터, 한 점 $\displaystyle N(0,0,2)$에서 구를 통과하는 직선을 그릴 때 점 $\displaystyle N(0,0,2),\ A(\alpha,\beta,\gamma)$ 그리고 $\displaystyle B(m,n,0)$는 동일 직선상에 있음을 알 수 있다. 따라서 점 $\displaystyle N(0,0,2)$을 지나고 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{NA}=(\alpha,\beta,\gamma-2)$에 평행한 직선의 방정식은$\displaystyle \frac{x}{\alpha}=\frac{y}{\beta}=\frac{z-2}{\gamma-2}$이다. 이때$\displaystyle \frac{\alpha}{m}=\frac{\beta}{n}=\frac{\gamma-2}{-2}=k$ (단, $\displaystyle k$는 상수)라고 하자. 그러면$\displaystyle \alpha=km,\ \beta=kn,\ \gamma=2-2k$이고 점 $\displaystyle (\alpha,\beta,\gamma)$가 구위의 점이므로$\displaystyle \alpha^2+\beta^2+(\gamma-1)^2=(km)^2+(kn)^2+(1-2k)^2=1$을 만족한다. 이 식으로부터 $\displaystyle k=\frac{4}{(m^2+n^2+4)}$를 구하고, 위 식에 대입하면$\displaystyle \alpha=\frac{4m}{m^2+n^2+4},\ \beta=\frac{4n}{m^2+n^2+4},\ \gamma=\frac{2(m^2+n^2)}{m^2+n^2+4}$이다. 따라서 점 $\displaystyle B_1\left(\frac45,\frac25,0\right)$에 대응되는 점은 $\displaystyle A_1=\left(\frac23,\frac13,\frac13\right)$이고, 점 $\displaystyle B_2(3,1,0)$의 대응점은 $\displaystyle A_2=\left(\frac67,\frac27,\frac{10}{7}\right)$이다.

이제 세 점 $\displaystyle P,A_1,A_2$을 지나는 평면의 방정식을$\displaystyle ax+by+cz+d=0$이라고 하자. 그러면 위의 세 점 $\displaystyle P,A_1,A_2$을 지나므로,$\displaystyle \begin{gathered}c+d=0\\2a+b+c+3d=0\\6a+2b+10c+7d=0\end{gathered}$을 만족한다. 위 식으로부터$\displaystyle c=-d,\ b=-9d,\ a=\frac{7d}{2}$을 얻는다.따라서 평면의 방정식은$\displaystyle \frac72x-9y-z+1=0$ 또는 $\displaystyle 7x-18y-2z+2=0$.

(문제 3-2)

사면체의 부피를 구하기 위하여, 주어진 점 $\displaystyle N$에서 평면$\displaystyle \frac72x-9y-z+1=0$ 또는 $\displaystyle 7x-18y-2z+2=0$.까지의 최단거리 $\displaystyle h$는$\displaystyle \begin{aligned}h&=\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\&=\frac{|7/2\times0-9\times0-2+1|}{\sqrt{(7/2)^2+(-9)^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{377}}\end{aligned}$임을 알수 있다.

이제 삼각형 $\displaystyle PA_1A_2$의 넓이 $\displaystyle S$를 구해보자.$\displaystyle P=(0,0,1),\ A_1=\left(\frac23,\frac13,\frac13\right),\ A_2=\left(\frac67,\frac27,\frac{10}{7}\right)$일 때, 두 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{PA_1}=\left(\frac23,\frac13,-\frac23\right),\ \overrightarrow{PA_2}=\left(\frac67,\frac27,\frac37\right)$와 그 사잇각 $\displaystyle \theta$에 대하여, 삼각형 $\displaystyle PA_1A_2$의 넓이 $\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{PA_1}||\overrightarrow{PA_2}|\sin\theta$를 구하자.$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{PA_1}\cdot\overrightarrow{PA_2}}{|\overrightarrow{PA_1}||\overrightarrow{PA_2}|}=\frac{8}{21}$이므로 $\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\left(\frac{8}{21}\right)^2}=\frac{\sqrt{29\times13}}{21}$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle PA_1A_2$의 넓이 $\displaystyle S=\frac12|\overrightarrow{PA_1}||\overrightarrow{PA_2}|\sin\theta=\frac{\sqrt{377}}{42}$이다.

그러므로 사면체의 부피는$\displaystyle V=\frac13\times S\times h=\frac13\times\frac{\sqrt{377}}{42}\times\frac{2}{\sqrt{377}}=\frac{1}{63}$.