의예과 1번

(문제 1-1)A 봉지와 B 봉지의 개수를 각각 $\displaystyle x,y$라고 하면 $\displaystyle x\geq0,\ y\geq0$,초콜릿이 560개 있으므로 $\displaystyle 4x+7y\leq560$, 비스켓이 600개 있으므로 $\displaystyle 8x+4y\leq600$를 얻고,두 방정식 $\displaystyle 4x+7y=560,\ 8x+4y=600$을 연립으로 풀면 $\displaystyle (x,y)=(49,52)$이고, 위의 네 부등식을 모두 만족하는 영역은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.

A 봉지와 B 봉지의 판매가격이 각각 900원, 1200원이므로 총 판매금액은 $\displaystyle 900x+1200y$이다.

$\displaystyle 900x+1200y=k$ ($\displaystyle k$는 상수)로 놓으면 $\displaystyle y=-\frac34x+\frac{k}{1200}$ ----(1)

$\displaystyle k$의 값은 직선 (1)이 점$\displaystyle (49,52)$를 지날 때 최대이다.따라서 판매금액을 최대로 하려고 할 때, A 봉지는 49개, B 봉지는 52개,총 판매금액은 $\displaystyle 900\times49+1,200\times52=106,500$원이다.

(문제 1-2)(i) 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기는 반지름의 길이에 관계없이 일정하다. 이와 같이 반지름의 길이와 호의 길이가 같은 부채꼴의 중심각의 크기를 1라디안이라 하고, 라디안을 단위로 각의 크기를 나타내는 방법을 호도법이라고 한다.

(ii) 반지름이 $\displaystyle r$인 원과 오른쪽 부채꼴에서 비례식을 세우면$\displaystyle 2\pi r:l=2\pi:\theta\ \Rightarrow\ l=r\theta$$\displaystyle \pi r^2:S=2\pi:\theta\ \Rightarrow\ S=\frac{r^2\theta}{2}=\frac{rl}{2}$

(iii) 넓이가 20인 부채꼴은$\displaystyle 20=S=\frac{rl}{2}\ \Rightarrow\ l=\frac{40}{r}$부채꼴의 둘레 $\displaystyle L=2r+l=2r+\frac{40}{r}\geq2\sqrt{(2r)\left(\frac{40}{r}\right)}=2\sqrt{80}=8\sqrt5$이므로부채꼴의 둘레의 최솟값은 $\displaystyle L=8\sqrt5$이다.이 때, $\displaystyle l=8\sqrt5-2r$이므로$\displaystyle 20=S=\frac12r(8\sqrt5-2r)=4\sqrt5-r^2\ \Rightarrow\ r^2-4\sqrt5r+20=(r-2\sqrt5)^2=0$Correction. $\displaystyle 4\sqrt5-r^2$에서 $\displaystyle 4\sqrt5$ 뒤에 $\displaystyle r$이 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle r=2\sqrt5,\ l=4\sqrt5$일 때 부채꼴의 둘레는 최솟값 $\displaystyle L=8\sqrt5$을 갖고 이 때, 중심각 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \theta=\frac{l}{r}=2$라디안이다.