자연계열 3번

(문제 3-1)우극한과 좌극한을 각각 구한다.

(1) $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$일 때,오른쪽 그림과 같이 단위원 O에서 중심각 AOB의 크기를 $\displaystyle x$라 하고, 점 A에서 원 O에 그은 접선과 선분 OB의 연장선과의 교점을 T라고 하면$\displaystyle \triangle\mathrm{AOB}$<(부채꼴AOB의 넓이)<$\displaystyle \triangle\mathrm{AOT}$이므로 $\displaystyle \frac12\sin x<\frac x2<\frac12\tan x$이다.

이때, $\displaystyle \sin x>0$이므로 위 부등식의 각 변을 $\displaystyle \frac12\sin x$로 나누고 정리하면 $\displaystyle 1<\frac{x}{\sin x}<\frac1{\cos x}$이고 이 식에 역수를 취하면 $\displaystyle 1>\frac{\sin x}{x}>\cos x$이다.

여기서 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\cos x=1$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0+}\frac{\sin x}{x}=1$이다.

(2) $\displaystyle -\frac\pi2<x<0$일 때,$\displaystyle x=-t$로 놓으면 $\displaystyle x\to0-$일 때 $\displaystyle t\to0+$이므로$\displaystyle \lim_{x\to0-}\frac{\sin x}{x}=\lim_{t\to0+}\frac{\sin(-t)}{-t}=\lim_{t\to0+}\frac{\sin t}{t}=1$이다.

따라서 (1),(2)에 의하여 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$임을 알 수 있다.

(문제 3-2)$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}&=\lim_{x\to0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x(1+\cos x)}\\&=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^2 x}{x(1+\cos x)}\\&=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2 x}{x(1+\cos x)}\\&=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\\&=1\cdot\frac02=0\end{aligned}$

(문제 3-3)$\displaystyle \begin{aligned}y^{\prime}&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{\cos x\sin h-\sin x(1-\cos h)}{h}\\&=\cos x\lim_{h\to0}\frac{\sin h}{h}-\sin x\lim_{h\to0}\frac{1-\cos h}{h}\\&=\cos x(1)-\sin x(0)\quad\text{(문제 3-1, 3-2에 의해)}\\&=\cos x\end{aligned}$