의예과 2번

(문제 2-1)(방법1) $\displaystyle \triangle\mathrm{AEC}$는 밑변이 $\displaystyle 2\sqrt2$이고 나머지 두 변이 2인 이등변삼각형이다.꼭지점 E에서 수직이등분선을 그려 선분 AC와 만나는 점을 K라 하면 선분 EK의 길이는 $\displaystyle \sqrt2$가 되고 이것은 정사각뿔의 높이가 된다. 따라서 주어진 정사각뿔의 부피는 $\displaystyle V=\frac13\cdot4\cdot\sqrt2=\frac{4\sqrt2}{3}$이다.

$\displaystyle \overline{\mathrm{FB}}=1$일 때 도형 $\displaystyle \mathrm{T}_2$의 부피를 구하기 위해 오른쪽 그림과 같이 세 조각으로 나눠보면 가운데 부분은 삼각기둥형태로 높이는 정사각뿔 높이의 절반 즉, $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}$이고 부피가 $\displaystyle \frac12\cdot2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot1=\frac{\sqrt2}{2}$이다.나머지 두 조각을 붙이면 직사각뿔이 되고 그 부피는$\displaystyle \frac13\cdot2\cdot1\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt2}{3}$이고 따라서도형 $\displaystyle \mathrm{T}_1$의 부피는 $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{3}=\frac{5\sqrt2}{6}$도형 $\displaystyle \mathrm{T}_2$의 부피는 $\displaystyle \frac{4\sqrt2}{3}-\frac{5\sqrt2}{6}=\frac{\sqrt2}{2}$이다.Correction. 위 두 줄의 $\displaystyle T_1$과 $\displaystyle T_2$가 서로 바뀌었다. $\displaystyle T_1$의 부피는 $\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}$, $\displaystyle T_2$의 부피는 $\displaystyle \frac{5\sqrt2}{6}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(문제 2-2)(방법1) 점 $\displaystyle \mathrm{F}\left(2-\frac t2,\frac t2,\frac t{\sqrt2}\right)$의 좌표를 확인하고 (문제 2-1)에서와 비슷하게 도형 $\displaystyle \mathrm{T}_2$를 세 조각으로 나누면 그 중 가운데 부분의 부피는$\displaystyle \frac12\cdot2\cdot\frac t{\sqrt2}\cdot(2-t)=\frac{t(2-t)}{\sqrt2}$이고, 나머지 두 조각을 붙인 직사각뿔의 부피는$\displaystyle \frac13\cdot2\cdot t\cdot\frac t{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{3}t^2$이다. 따라서도형 $\displaystyle \mathrm{T}_2$의 부피는 $\displaystyle \frac{t(2-t)}{\sqrt2}+\frac{\sqrt2}{3}t^2=-\frac{\sqrt2}{6}t^2+\sqrt2t$이고, 이 식을 정사각뿔의 부피의 절반인 $\displaystyle \frac23\sqrt2$와 같게 놓으면$\displaystyle -\frac{\sqrt2}{6}t^2+\sqrt2t=\frac23\sqrt2$$\displaystyle \Rightarrow t^2-6t+4=0$$\displaystyle \Rightarrow t=3\pm\sqrt5$에서 $\displaystyle t=3-\sqrt5$를 얻는다.