의예과 1번

(문제 1-1)원의 중심과 직선 사이의 거리 $\displaystyle d$는 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle d=\frac{|3t+2-2|}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{3|t|}{\sqrt{t^2+1}}$원과 직선이 접하기 때문에 $\displaystyle r=d$을 만족한다.$\displaystyle r=2=\frac{3|t|}{\sqrt{t^2+1}}=d\ \Rightarrow\ 9t^2=4(t^2+1)\ \Rightarrow\ t=\pm\frac2{\sqrt5}$

접점의 좌표를 구하기 위해 주어진 직선 $\displaystyle y=-tx+2$와 수직이고 원의 중심 $\displaystyle (3,2)$를 지나는 직선을 구한다. 즉, 기울기가 $\displaystyle 1/t$이고 점 $\displaystyle (3,2)$를 지나는 직선이므로$\displaystyle y=\frac{x-3}{t}+2$이다.

두 직선의 교점을 구하여 접점의 좌표를 구한다.$\displaystyle -tx+2=(1/t)x+(2-3/t)\ \Rightarrow\ (t+1/t)x=3/t\ \Rightarrow\ x=3/(t^2+1)$위에서 구한 $\displaystyle t=\pm\frac2{\sqrt5}$를 대입하여 $\displaystyle x$값을 구한다.$\displaystyle x=\frac3{t^2+1}=\frac3{4/5+1}=\frac{15}{4+5}=\frac53$직선의 방정식에 $\displaystyle x$값을 대입하여 이에 대응하는 $\displaystyle y$좌표를 구한다.$\displaystyle y=\mp\frac2{\sqrt5}\cdot\frac53+2=\frac{6\mp2\sqrt5}{3}$그러므로 접점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac53,\frac{6\mp2\sqrt5}{3}\right)$이다.

(문제 1-2) (해설-1)직선이 원에 의하여 잘린 선분의 길이는 오른쪽 그림과 같이 피타고라스 정리에 의한 식$\displaystyle \ell=\sqrt{r^2-d^2}$Comment. $\displaystyle \ell=\sqrt{r^2-d^2}$는 잘린 선분의 길이의 절반이다. 선분 전체의 길이는 $\displaystyle 2\ell$이며, 최종 계산에는 이를 올바르게 사용했다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.을 사용하여 구할 수 있다. 여기에서 $\displaystyle r$은 원의 반지름이고 $\displaystyle d$는 원의 중심과 직선 사이의 거리이다. 원의 반지름은 $\displaystyle r=5$인 상수이므로 잘린 선분의 길이가 최댓값을 갖기 위해서는 $\displaystyle d$가 최소가 되어야 한다.

원의 중심 $\displaystyle (0,3)$과 평면 사이의 거리 $\displaystyle d$는 아래와 같이 구할 수 있다.Correction. 여기서 ‘평면’은 ‘직선’을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle d=\frac{|3-12-3\sin t|}{\sqrt{\sin^2t+1}}=\frac{3|3+\sin t|}{\sqrt{\sin^2t+1}}=\frac{3(3+\sin t)}{\sqrt{\sin^2t+1}}$

$\displaystyle d$가 최솟값을 갖는 $\displaystyle t$를 찾기 위해 아래 그림의 $\displaystyle \sin^2t$(빨간색)과 $\displaystyle \sin t$(파란색) 그래프를 관찰하자.

그래프에서 볼 수 있듯이 $\displaystyle t=(3/2)\pi$일 때, $\displaystyle d$의 분자가 $\displaystyle 3(3+\sin t)=6$으로 최솟값을 갖고 $\displaystyle d$의 분모가 $\displaystyle \sin^2t+1=2$로 최댓값을 갖는다. 그러므로 $\displaystyle d$가 최솟값을 갖게 하는 $\displaystyle t$는 $\displaystyle (3/2)\pi$이고, 이때 $\displaystyle d$의 값은 $\displaystyle d=\frac6{\sqrt2}=3\sqrt2$이다. $\displaystyle d$가 최솟값 $\displaystyle 3\sqrt2$를 가질 때 잘린 선분의 길이는 최댓값 $\displaystyle 2\ell=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{25-18}=2\sqrt7$을 갖는다.Correction. $\displaystyle d$의 분모는 $\displaystyle \sqrt{1+\sin^2t}$이고, 그 최댓값은 $\displaystyle \sqrt2$이다. 이후 계산과 최종 답은 옳다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.