자연계열 1번

[문제 1-1] (답) $\displaystyle \frac{25}{3}$

함수 $\displaystyle f(x)$의 역함수가 존재하므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 일대일대응이다. 이때 함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=-1$에서 오직 하나의 값을 가져야 하므로 $\displaystyle f(-1)=2$이어야 한다. 즉, $\displaystyle f(-1)=-(-1)+a=2,\ a=1$이다. 또한 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle x=1$에서 오직 하나의 값을 가져야 하므로 $\displaystyle f(1)=0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle f(1)=-\frac13+b=0,\ b=\frac13$이다. 따라서 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 [그림 1]과 같다.Comment. 함숫값이 하나라는 사실만으로 $\displaystyle f(-1)=2$가 되는 것은 아니다. 일대일대응이려면 각 구간의 치역이 서로 겹치지 않으면서 실수 전체를 이루어야 하므로 $\displaystyle a=1,\ b=\frac13$이다.

한편, $\displaystyle h(8)=t$라고 하면 $\displaystyle f(t)=8$이고, 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프에서 $\displaystyle t<-1$이므로 $\displaystyle f(t)=2t^2=8,\ t=-2\ (t<-1)$이다. 또, $\displaystyle h(h(8))=h(-2)=c$에서 $\displaystyle f(c)=-2$이고, $\displaystyle c>1$이므로 $\displaystyle f(c)=-\frac13c+\frac13=-2$이다. 따라서 $\displaystyle c=7$이고 답은 $\displaystyle a+b+c=1+\frac13+7=\frac{25}{3}$이다.

[문제 1-2] (답) $\displaystyle \frac{13}{8}$(풀이) $\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f\left(-2+\frac{4k}{n}\right)\frac1n&=\lim_{n\to\infty}\frac14\sum_{k=1}^n f\left(-2+\frac{4k}{n}\right)\frac4n\\&=\frac14\int_{-2}^2f(x)\,dx=\frac14\left(\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx+\int_{-1}^1f(x)\,dx+\int_1^2f(x)\,dx\right)\\&=\frac14\left(\int_{-2}^{-1}2x^2\,dx+\int_{-1}^1-x+1\,dx+\int_1^2-\frac13x+\frac13\,dx\right)=\frac{13}{8}.\end{aligned}$

[문제 1-3] (답) $\displaystyle \frac5{24}$(풀이) $\displaystyle g(x)=\int_0^x\frac1{1+t^2}\,dt$의 양변을 $\displaystyle x$에 대해서 미분하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac1{1+x^2}$이고 주어진 식$\displaystyle \int_0^b\frac{\sin^3(g(x))}{1+x^2}\,dx=\int_0^b g^{\prime}(x)\sin^3(g(x))\,dx$ ----(1)가 된다. $\displaystyle g(x)=u$로 치환하면 $\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{du}{dx}$이므로 식 (1)은$\displaystyle \int_0^b\frac{\sin^3(g(x))}{1+x^2}\,dx=\int_0^b g^{\prime}(x)\sin^3(g(x))\,dx=\int_0^{\frac\pi3}\sin^3u\,du=\int_0^{\frac\pi3}\sin^2u\sin u\,du$Correction. 위 적분의 상한 $\displaystyle b$는 $\displaystyle \alpha$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.삼각함수 사이의 관계 $\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$에 의하여$\displaystyle \int_0^{\frac\pi3}\sin^2u\sin u\,du=\int_0^{\frac\pi3}(1-\cos^2u)\sin u\,du$ ----(2)가 된다. 이제 $\displaystyle \cos u=t$로 치환하면 $\displaystyle -\sin u=\frac{dt}{du}$이므로 식 (2)는$\displaystyle \int_0^{\frac\pi3}(1-\cos^2u)\sin u\,du=\int_1^{1/2}-(1-t^2)\,dt=\Biggl[\frac13t^3-t\Biggr]_1^{1/2}=\frac5{24}$.