자연계열 3번

(문제 3-1) 배점 12점(정답)1. $\displaystyle \mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(36X-150)=168-150=18$2. $\displaystyle p=7$이고 $\displaystyle q=15$이므로 $\displaystyle p+q=7+15=22$Correction. 정답란의 $\displaystyle p=7,\ q=15$는 서로 바뀌었다. 대학 본풀이의 확률 $\displaystyle \frac7{15}$에 따르면 $\displaystyle p=15,\ q=7$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(풀이)(풀이) 주사위를 두 번 던져서 나오는 두 눈 중에서 큰 값이 결정될 수 있는 경우는 (1,2), (1,3), ..., (6,5)로 경우의 수가 30이다.Comment. 대학 본풀이는 두 주사위의 눈이 서로 다르다는 조건 아래에서 계산한 것이다. 같은 눈도 포함하여 $\displaystyle X$를 두 눈의 최댓값으로 해석하면 $\displaystyle E(Y)=11$이고, $\displaystyle P(S\ge400)=\frac49$이므로 $\displaystyle p+q=13$이다.

확률변수 $\displaystyle X=2$가 되는 경우의 수는 $\displaystyle (1,2)$와 $\displaystyle (2,1)$로 2가지로 $\displaystyle \mathrm{P}(X=2)=\frac2{30}$이다. 마찬가지 방식으로 $\displaystyle X=3,4,5,6$에 대해서 확률을 구하여 정리하면 확률변수 $\displaystyle X$의 확률질량함수는 다음과 같다. 확률질량함수의 합이 1임을 확인할 수 있다.

1) 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값 $\displaystyle \mathrm{E}(X)=2\times\frac2{30}+3\times\frac4{30}+4\times\frac6{30}+5\times\frac8{30}+6\times\frac{10}{30}=\frac{140}{30}$이다.따라서, $\displaystyle \mathrm{E}(36X)=36\mathrm{E}(X)=168$이고 $\displaystyle \mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(36X-150)=168-150=18$이다.

2) 사각형 ABCD의 넓이 $\displaystyle S$는 사다리꼴 면적을 구하는 것이므로 $\displaystyle S$는 다음과 같다.$\displaystyle S=\frac12[14+(14-2k)][49-(k-7)^2]$이 식에서 $\displaystyle k$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle k=2,3,\cdots,6$이므로 $\displaystyle S$의 값과 각 면적이 나올 확률은 다음과 같다.

따라서,$\displaystyle P(S\geq400)=P(S=400)+P(S=405)=3/15+4/15=7/15$이다.여기서 $\displaystyle p=15,q=7$이므로 $\displaystyle p+q=15+7=22$이다.

Note: 만약 주사위 눈이 (3,3)과 같이 큰 수가 없는 경우에도 3을 큰 수로 취급하여 풀었다면 다음과 같은 답이 구해진다.1) $\displaystyle \mathrm{E}(Y)=\mathrm{E}(36X-150)=161-150=11$2) $\displaystyle P(S\geq400)=P(S=400)+P(S=405)=8/30+10/30=9/15$이다.$\displaystyle p=15,q=9$이므로 $\displaystyle p+q=15+9=24$이다.Correction. 같은 눈이 나오는 경우까지 포함한 대학 부연의 확률식과 최종값은 오기이다. 전체 경우의 수는 36이며, $\displaystyle S\ge400$인 $\displaystyle X=4$, $\displaystyle X=5$의 경우의 수는 각각 7과 9이다. 따라서 $\displaystyle P(S\ge400)=4/9$이고, 서로소인 자연수 $\displaystyle p,q$는 $\displaystyle p=9,\ q=4$이므로 $\displaystyle p+q=13$이다. 원문의 15와 9는 서로소도 아니다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(문제 3-2) 배점 8점(정답) $\displaystyle k=5$일 때 최소이며 그 값은 $\displaystyle 3T=3\left(\frac{1372}{3}-405\right)=1372-1215=157$

(풀이)포물선의 면적은 $\displaystyle T=\int_0^{14}[49-(x-7)^2]\,dx=\frac{1372}{3}$이다.Correction. $\displaystyle \frac{1372}{3}$은 포물선과 $\displaystyle x$축으로 둘러싸인 부분의 전체 넓이이다. 문제에서 정의한 $\displaystyle T$는 $\displaystyle \frac{1372}{3}-S$이며, 최종 계산에는 이를 올바르게 사용했다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.위의 표에서 보면 $\displaystyle k=5$일 때 $\displaystyle S$가 최대가 되므로 $\displaystyle T$는 $\displaystyle k=5$일 때 최소가 되며 그 때 $\displaystyle 3T$의 값은 $\displaystyle 3T=3\left(\frac{1372}{3}-405\right)=1372-1215=157$이다.

(문제 3-3) 배점 15점(정답) $\displaystyle a=8,\ b=-8,\ c=-8,\ d=8$

(풀이)주어진 $\displaystyle k=6$에 대해서 $\displaystyle x$의 범위가 [0,6], [6,8], [8,14]일 때에 단면인 직사각형의 높이는 각각 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}y&=8x,&x&\in[0,6]\\y&=48,&x&\in[6,8]\\y&=-8x+112,&x&\in[8,14]\end{aligned}$입체도형 R의 부피 $\displaystyle V$는 단면을 넓이를 적분하여 얻으므로 위의 범위에 따라 적분하면$\displaystyle V=\int_0^6(8x)e^{-x}\,dx+\int_6^8 48e^{-x}\,dx+\int_8^{14}(-8x+112)e^{-x}\,dx$부분적분을 시행하면,$\displaystyle \begin{aligned}V&=8\left(\Biggl[-xe^{-x}\Biggr]_0^6+\int_0^6e^{-x}\,dx\right)-48\Biggl[e^{-x}\Biggr]_6^8-8\left(\Biggl[-xe^{-x}\Biggr]_8^{14}+\int_8^{14}e^{-x}\,dx\right)-112\Biggl[e^{-x}\Biggr]_8^{14}\\&=8\left(\Biggl[-xe^{-x}\Biggr]_0^6-\Biggl[e^{-x}\Biggr]_0^6\right)-48\Biggl[e^{-x}\Biggr]_6^8-8\left(\Biggl[-xe^{-x}\Biggr]_8^{14}-\Biggl[e^{-x}\Biggr]_8^{14}\right)-112\Biggl[e^{-x}\Biggr]_8^{14}\\&=8\left([-6e^{-6}]-[e^{-6}-1]\right)-48[e^{-8}-e^{-6}]\\&\quad-8\left([-14e^{-14}+8e^{-8}]-[e^{-14}-e^{-8}]\right)-112[e^{-14}-e^{-8}]\\&=8-8e^{-6}-8e^{-8}+8e^{-14}\end{aligned}$그러므로 $\displaystyle a=8,\ b=-8,\ c=-8,\ d=8$이다.