의예과 2번

(문제 2-1)(정답) $\displaystyle \pi(\sqrt6-\sqrt2)$(풀이)$\displaystyle \alpha+\beta=5\pi/12$이므로 $\displaystyle \angle ACB=\varphi=7\pi/12$이다. 이는 원주각이 $\displaystyle 7\pi/12$인 원으로 볼 수 있으므로 점 $\displaystyle C$는 삼각형 $\displaystyle ABC$의 외접원 위의 점이 된다. $\displaystyle \alpha$가 최소값인 $\displaystyle \pi/12$일 때 $\displaystyle C$의 위치를 $\displaystyle C_1$, $\displaystyle \beta$가 최소값 $\displaystyle \pi/6$일 때 $\displaystyle C$의 위치를 $\displaystyle C_2$라 하자. 그러면 다음 그림과 같다.

호 $\displaystyle \overset{\frown}{C_1C_2}$의 중심각의 크기 $\displaystyle \angle C_1OC_2$는 원주각 $\displaystyle \angle C_1BC_2$의 2배이고, 각 $\displaystyle \angle C_1BC_2$는 삼각형 $\displaystyle C_1BA$로부터 $\displaystyle \pi/6$이다. 그러므로 호 $\displaystyle \overset{\frown}{C_1C_2}$의 중심각의 크기 $\displaystyle \gamma$는 $\displaystyle \pi/3$이다. 그리고 외접원의 반지름의 길이 $\displaystyle R$은 사인법칙에 의해 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle 2R=\frac\ell{\sin(\pi-\theta)}=\frac6{\sin(5\pi/12)}=\frac6{\sin(\pi/6)\cos(\pi/4)+\sin(\pi/4)\cos(\pi/6)}=\frac{24}{\sqrt2+\sqrt6}$그러므로 점 $\displaystyle C$의 자취의 길이인 호 $\displaystyle \overset{\frown}{C_1C_2}$의 길이 $\displaystyle L$은$\displaystyle L=\text{반지름}\cdot\text{각도}=\frac{12}{\sqrt2+\sqrt6}\cdot\frac\pi3=\pi(\sqrt6-\sqrt2)$

(문제 2-2)(정답)위치: $\displaystyle \begin{cases}c_x=6-3\sqrt3\\c_y=3\sqrt3-3\end{cases}$ & 속도: $\displaystyle \begin{cases}v_x=-18\\v_y=18(2-\sqrt3)\end{cases}$

(풀이 1)$\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$의 탄젠트 값을 보면 아래와 같은 식을 구할 수 있다.$\displaystyle \tan(\pi/12+3t)=c_y/(3+c_x),\quad\tan(\pi/3-3t)=c_y/(3-c_x)$ ⋯ (1)$\displaystyle t=\pi/36$이므로 $\displaystyle \alpha=\pi/6$, $\displaystyle \beta=\pi/4$이고 그 탄젠트 값을 보면, $\displaystyle \tan(\pi/6)=1/\sqrt3=c_y/(3+c_x)$, $\displaystyle \tan(\pi/4)=1=c_y/(3-c_x)$이다. 이 두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle c_x$와 $\displaystyle c_y$를 아래와 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle c_x=6-3\sqrt3,\quad c_y=3(\sqrt3-1)$ ⋯ (2)속도를 계산하기 위해 식 (1)을 미분하면 아래와 같다.$\displaystyle 3\sec^2(\pi/12+3t)=\frac{v_y(3+c_x)-v_xc_y}{(3+c_x)^2},\quad-3\sec^2(\pi/3-3t)=\frac{v_y(3-c_x)+v_xc_y}{(3-c_x)^2}$주어진 $\displaystyle t=\pi/36$과 식 (2)에서 $\displaystyle c_x=6-3\sqrt3$, $\displaystyle c_y=3(\sqrt3-1)$를 대입하면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}3\sec^2(\pi/6)&=4=\frac{(9-3\sqrt3)v_y-(3\sqrt3-3)v_x}{(9-3\sqrt3)^2},\\-3\sec^2(\pi/4)&=-6=\frac{(3\sqrt3-3)v_y+(3\sqrt3-3)v_x}{(3\sqrt3-3)^2}\end{aligned}$이 두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle v_x$와 $\displaystyle v_y$를 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle v_x=-18,\quad v_y=18(2-\sqrt3)$ ⋯ (3)식 (2), (3)에 의해서 위치와 속도를 아래와 같이 구할 수 있다.위치: $\displaystyle \begin{cases}c_x=6-3\sqrt3\\c_y=3\sqrt3-3\end{cases}$ & 속도: $\displaystyle \begin{cases}v_x=-18\\v_y=18(2-\sqrt3)\end{cases}$

(문제 2-3)(정답)$\displaystyle \mathrm{E}(c_x)=-1,\quad\mathrm{E}(c_y)=-5+4\sqrt3$또는$\displaystyle (-1,-5+4\sqrt3)$(풀이 1)$\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$의 탄젠트 값을 보면 아래와 같은 식을 구할 수 있다.$\displaystyle \tan\alpha=c_y/(3+c_x),\quad\tan\beta=c_y/(3-c_x)$위의 식을 $\displaystyle c_x$와 $\displaystyle c_y$에 대한 연립방정식으로 쓰면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{cases}\tan\alpha\cdot c_x-c_y=-3\tan\alpha\\\tan\beta\cdot c_x+c_y=3\tan\beta\end{cases}$위의 연립방정식을 풀어 $\displaystyle c_x$와 $\displaystyle c_y$을 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$를 사용하여 나타내면$\displaystyle c_x=\frac{-3(\tan\alpha-\tan\beta)}{\tan\alpha+\tan\beta},\quad c_y=\frac{6\tan\alpha\tan\beta}{\tan\alpha+\tan\beta}$문제에서 주어진 $\displaystyle \alpha$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle \alpha=\frac\pi6,\ \frac\pi4,\ \frac\pi3$이고 이에 대응하는 $\displaystyle \beta=\frac{5\pi}{12}-\alpha$는 $\displaystyle \beta=\pi/4,\ \pi/6,\ \pi/12$이다. $\displaystyle \tan(\pi/12)$는 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\tan(\pi/6)&=\tan(\pi/12+\pi/12)=\frac{2\tan(\pi/12)}{1-\tan^2(\pi/12)}\\\Rightarrow\quad1/\sqrt3&=2\tan(\pi/12)/(1-\tan^2(\pi/12))\\\Rightarrow\quad\tan^2(\pi/12)&+2\sqrt3\tan(\pi/12)-1=0\\\Rightarrow\quad\tan(\pi/12)&=2-\sqrt3\end{aligned}$따라서 가능한 $\displaystyle \tan\alpha$와 $\displaystyle \tan\beta$는 아래와 같다.

이산확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포에 따른 점 $\displaystyle C$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle c_x$와 $\displaystyle y$좌표 $\displaystyle c_y$는 다음 표와 같이 계산할 수 있다.

따라서 점 $\displaystyle C$의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표의 평균(기댓값)은$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{E}(c_x)&=\frac16\cdot3(2-\sqrt3)+\frac12\cdot(-3(2-\sqrt3))+\frac13\cdot3(1-\sqrt3)=-1\\\mathrm{E}(c_y)&=\frac16\cdot3(-1+\sqrt3)+\frac12\cdot3(-1+\sqrt3)+\frac13\cdot3(-3+2\sqrt3)=-5+4\sqrt3\end{aligned}$이다.