의예과 1번

(문제 1-1)감염된 사람의 수 $\displaystyle g(t)$가 감소한다는 것은 $\displaystyle g^{\prime}(t)<0$인 경우이다. 주어진 식으로부터$\displaystyle g^{\prime}(t)=\frac{ag(t)f(t)}N-bg(t)=\left(\frac ab\frac{f(t)}N-1\right)bg(t)$이므로$\displaystyle g^{\prime}(t)<0\quad\Leftrightarrow\quad\left(\frac ab\frac{f(t)}N-1\right)bg(t)<0$이고, $\displaystyle a>0$, $\displaystyle g(t)>0$이므로$\displaystyle g^{\prime}(t)<0\quad\Leftrightarrow\quad\frac ab\frac{f(t)}N<1\quad\Leftrightarrow\quad f(t)<bN/a=100/10=10$그러므로 $\displaystyle A<10$이다.

(문제 1-2)주어진 식으로부터$\displaystyle \frac{f^{\prime}(t)}{h^{\prime}(t)}=-\frac{ag(t)f(t)/N}{bg(t)}=-\frac{af(t)}{bN}$양변을 $\displaystyle f(t)$로 나누고 $\displaystyle h^{\prime}(t)$를 곱하면$\displaystyle \frac{f^{\prime}(t)}{f(t)}=-\frac a{bN}h^{\prime}(t)$양변을 $\displaystyle t$에 대해 적분하면$\displaystyle \ln f(t)=-(a/(bN))h(t)+C$여기에서 $\displaystyle C$는 적분상수이다. 자연상수 $\displaystyle e$를 밑으로 하는 지수함수로 표현하면$\displaystyle f(t)=e^Ce^{-ah(t)/(bN)}$이다. 적분상수 $\displaystyle C$를 정하기 위해 $\displaystyle t=0$을 대입하면,$\displaystyle f(0)=e^Ce^{-ah(0)/(bN)}\quad\Rightarrow\quad f(0)e^{ah(0)/(bN)}=e^C$그러므로$\displaystyle f(t)=f(0)e^{-a(h(t)-h(0))/(bN)}=99e^{-\frac1{20}h(t)}$문제에서 주어진 $\displaystyle h(t^*)=20$이므로 $\displaystyle f(t^*)=99e^{-\frac1{20}20}=99/e$이다.

(문제 1-3)제시문 (나)에서 $\displaystyle \mathrm{P}(X\geq k+1)=\frac k{k+2}\mathrm{P}(X\geq k)$이므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{P}(X\geq k+1)}{\mathrm{P}(X\geq k)}=\frac k{k+2}\ (k=1,2,\cdots,99)$이다.

- $\displaystyle \mathrm{P}(X\geq k)=P_k$로 나타내면 $\displaystyle \frac{P_{k+1}}{P_k}=\frac k{k+2}$이다.

- 확률의 기본성질에 의해서 $\displaystyle \mathrm{P}(X\geq1)=P_1=\sum_{x=1}^{100}\mathrm{P}(X=x)=1$이다.

- 문제에 주어진 확률을 계산하기 위해서는 확률을 $\displaystyle \mathrm{P}(X\geq k)=P_k$의 형태로 표현하여야 한다.

1) $\displaystyle \frac{\mathrm{P}(1\leq X\leq3)}{\mathrm{P}(6\leq X\leq19)}$의 값은?

- 문제에 있는 $\displaystyle \mathrm{P}(6\leq X\leq19)$를 계산하기 위해서 제시문에 주어진 형태로 다시 표현하면 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm{P}(6\leq X\leq19)&=\mathrm{P}(X\leq19)-\mathrm{P}(X\leq5)\\&=1-\mathrm{P}(X\geq20)-[1-\mathrm{P}(X\geq6)]\\&=\mathrm{P}(X\geq6)-\mathrm{P}(X\geq20)\\&=P_6-P_{20}\end{aligned}$

- $\displaystyle P_k$의 값은 다음과 같이 구해진다.$\displaystyle \begin{aligned}P_1&=1\\P_2&=\frac13P_1=\frac13\\P_3&=\frac24P_2=\frac23\times\frac14\\P_4&=\frac35P_3=\frac13\times\frac24\times\frac35=\frac24\times\frac15\\P_5&=\frac46P_4=\frac13\times\frac24\times\frac35\times\frac46=\frac25\times\frac16\\P_6&=\frac57P_5=\frac13\times\frac24\times\frac35\times\frac46\times\frac57=\frac26\times\frac17\end{aligned}$같은 방법으로 계산하면 $\displaystyle P_{20}=\frac2{20\cdot21}$이다.

따라서, $\displaystyle \mathrm{P}(6\leq X\leq19)=P_6-P_{20}=\frac2{6\cdot7}-\frac2{20\cdot21}=\frac3{70}$이다.

- $\displaystyle \mathrm{P}(1\leq X\leq3)=1-\mathrm{P}(X\geq4)=1-P_4$이며 $\displaystyle P_4=\frac2{4\cdot5}$이다.

따라서, $\displaystyle \mathrm{P}(1\leq X\leq3)=1-P_4=1-\frac1{10}=\frac9{10}$이다.

따라서, 구하고자 하는 값은 $\displaystyle \frac{\mathrm{P}(1\leq X\leq3)}{\mathrm{P}(6\leq X\leq19)}=\frac{9/10}{3/70}=21$이다.

2) 방역당국에서 전염병 경보단계를 최고단계로 하는 최소 감염자수 $\displaystyle k$ 구하기

앞에서 $\displaystyle P_k$의 값을 계산하는 방법을 이용하면 다음과 같은 값을 가진다.

$\displaystyle k=1$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X\leq1)=1-\mathrm{P}(X\geq2)=1-P_2=1-\frac13=2/3$$\displaystyle k=2$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X\leq2)=1-P_3=1-1/6=5/6$$\displaystyle k=3$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X\leq3)=1-P_4=1-1/10=9/10$

이와 같은 방법을 사용하면$\displaystyle k=8$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X\leq8)=1-P_9=1-\frac2{9\cdot10}=44/45$이다.$\displaystyle k=9$일 때 $\displaystyle \mathrm{P}(X\leq9)=1-P_{10}=1-\frac2{10\cdot11}=54/55$로 최고단계의 조건을 만족한다.따라서, 전염병 경보단계를 격상시키는 최소감염자수 $\displaystyle k=9$이다.