자연계열 2번

[문제 2-1] (답) $\displaystyle a_r=\frac{r^2+1}{2}$(풀이)$\displaystyle \begin{cases}x=\frac12y^2&\text{-----(1)}\\(x-a_r)^2+y^2=r^2&\text{-----(2)}\end{cases}$(1)을 (2)에 대입하여 정리하면 $\displaystyle (x-a_r)^2+2x-r^2=0$이다. 이 이차방정식의 판별식이 $\displaystyle D=0$이어야 하므로 $\displaystyle \frac D4=(a_r-1)^2-(a_r^2-r^2)=0$이고 정리하면 $\displaystyle a_r=\frac{r^2+1}{2}$이다.

[문제 2-2] (답) $\displaystyle -\frac8{e^2}<k<-\frac2e$(풀이) $\displaystyle \left(\frac{4r^2+1}{2}-\frac12\right)e^{-r}+k=0$1 보다 큰 모든 실수 $\displaystyle r$에 대해 $\displaystyle f(r)=2r^2e^{-r}$ (또는 1보다 큰 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f(x)=2x^2e^{-x}$)이라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2e^{-x}(2x-x^2)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=2$이다. 이때 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2e^{-x}(x^2-4x+2)$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(0)=4>0,\ f^{\prime\prime}(2)=-4e^{-2}<0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 극솟값은 $\displaystyle f(0)=0$, 극댓값은 $\displaystyle f(2)=8e^{-2}$이다. 그리고 $\displaystyle \left(\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{2x^2}{e^x}\right)=\infty\right)$, $\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2}{e^x}\right)=0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)=2x^2e^{-x}$의 그래프의 개형은 다음 그림과 같다.[그림 2]

이때 곡선 $\displaystyle f(x)=2x^2e^{-x}\ (x>1)$과 직선 $\displaystyle y=-k$가 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 구하는 $\displaystyle k$값의 범위는 $\displaystyle -\frac8{e^2}<k<-\frac2e$이다.

[문제 2-3] (답) $\displaystyle \sqrt3$(풀이) 연립이차방정식 $\displaystyle \begin{cases}(x-a_r)^2+y^2=r^2&\text{----(1)}\\(x-a_{r+1})^2+y^2=(r+1)^2&\text{----(2)}\end{cases}$(1)에서 $\displaystyle y^2=r^2-(x-a_r)^2$ ----(3)(3)을 (2)에 대입하면 $\displaystyle (x-a_{r+1})^2-(x-a_r)^2=(r+1)^2-r^2,\ x=\frac{r^2+r-1}{2}$이고 (1)에 대입하면 $\displaystyle y=\frac{\pm\sqrt{3r^2+4r-4}}2$이다. 따라서 점 $\displaystyle P_r$과 $\displaystyle s,t$를 구하면 $\displaystyle P_r\left(\frac{r^2+r-1}{2},\frac{\sqrt{3r^2+4r-4}}2\right)$, $\displaystyle t=a_{r+1}-x=\frac{r+3}{2}$이고 $\displaystyle s=\frac{\sqrt{3r^2+4r-4}}2$이다[그림 3]. 그러므로 $\displaystyle \lim_{r\to\infty}\tan(\theta_r)=\lim_{r\to\infty}\frac st=\lim_{r\to\infty}\frac{\frac{\sqrt{3r^2+4r-4}}2}{\frac{r+3}{2}}=\sqrt3$.Correction. 교점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2r^2+2r-1}{4},\frac{\sqrt{12r^2+12r-9}}4\right)$이고 $\displaystyle t=\frac{2r+5}{4}$이다. 다만 구하는 극한값 $\displaystyle \sqrt3$은 같다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.