자연계열 1번

[문제 1-1] (정답)

(i) 1번 공이 뽑힐 확률 : $\displaystyle P(D_1)=\frac7{12}$

(ii) 꺼낸 공이 1번 공일 때 주머니 C가 선택될 확률 : $\displaystyle P(C|D_1)=\frac47$

(풀이)

사건의 정의 : $\displaystyle A=\{\text{주머니 A 선택}\}$, $\displaystyle B=\{\text{주머니 B 선택}\}$, $\displaystyle C=\{\text{주머니 C 선택}\}$, $\displaystyle D_1=\{\text{1번 꺼낸 공이 1번 공}\}$

(i) 1번 공이 뽑힐 확률 :$\displaystyle P(D_1)=P(A)P(D_1|A)+P(B)P(D_1|B)+P(C)P(D_1|C)=\frac13\cdot\frac14+\frac13\cdot\frac12+\frac13\cdot1=\frac7{12}$

(ii) 꺼낸 공이 1번 공일 때 주머니 C가 선택될 확률 :$\displaystyle P(C|D_1)=\frac{P(C\cap D_1)}{P(D_1)}=\frac{1/3}{7/12}=\frac47$

[문제 1-2] (정답)

$\displaystyle P(C|D_n)=\frac{4^n}{1+2^n+4^n}$

(풀이)

사건의 정의 : $\displaystyle D_n=\{n\text{번 모두 1번 공}\}$

$\displaystyle \begin{aligned}P(D_n)&=P(A)P(D_n|A)+P(B)P(D_n|B)+P(C)P(D_n|C)\\&=\frac13\left(\frac14\right)^n+\frac13\left(\frac12\right)^n+\frac13\cdot1\end{aligned}$

$\displaystyle P(C|D_n)=\frac{P(C\cap D_n)}{P(D_n)}=\frac{1/3}{\frac13(\frac14)^n+\frac13(\frac12)^n+\frac13\cdot1}=\frac{4^n}{1+2^n+4^n}$

[문제 1-3] (정답) 4회(또는 4회 이상)의 반복실험

(풀이)

$\displaystyle n=1$일 때, $\displaystyle P(C|D_1)=\frac47=0.57\cdots<0.9$

$\displaystyle n=2$일 때, $\displaystyle P(C|D_2)=\frac{16}{1+4+16}=\frac{16}{21}=0.76\cdots<0.9$

$\displaystyle n=3$일 때, $\displaystyle P(C|D_3)=\frac{64}{1+8+64}=\frac{64}{73}=0.87\cdots<0.9$

$\displaystyle n=4$일 때, $\displaystyle P(C|D_4)=\frac{256}{1+16+256}=\frac{256}{273}=0.93\cdots\ge0.9$

따라서 4회의 반복실험에서 모두 1번 공이 뽑힐 때, 주머니 C가 선택되었을 확률이 0.9 이상 (동일한 의미로, 주머니 C를 선택했다는 주장이 사실일 확률이 0.9 이상)