자연계열 3번

[문제 3-1]

(풀이) 플라스틱 쓰레기 1500톤을 재활용하게 되는 플라스틱의 양을 모두 구하면$\displaystyle 1500(0.65\times0.8)+1500(0.65\times0.8)^2+1500(0.65\times0.8)^3+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}1500\times0.52^n=\frac{1500\times0.52}{1-0.52}=1625$

이다. 그러므로 답은 1625톤 이다. (끝)

[문제 3-2]

(풀이) (i) $\displaystyle A(x)=\int_{1.5}^x(10t^2-9t-9)e^{-t}\,dt$이고 두 함수의 곱의 정적분이므로 부분적분법을 이용한다.

$\displaystyle \alpha(t)=10t^2-9t-9$, $\displaystyle \beta^{\prime}(t)=e^{-t}$로 놓으면 $\displaystyle \alpha^{\prime}(t)=20t-9$, $\displaystyle \beta(t)=-e^{-t}$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}A(x)&=\Biggl[-(10t^2-9t-9)e^{-t}\Biggr]_{1.5}^x-\int_{1.5}^x(20t-9)(-e^{-t})\,dt\\&=-(10x^2-9x-9)e^{-x}+\int_{1.5}^x(20t-9)e^{-t}\,dt\end{aligned}$

이다. 같은 방법으로 $\displaystyle \int_{1.5}^x(20t-9)e^{-t}\,dt$에서 $\displaystyle \alpha(t)=20t-9$, $\displaystyle \beta^{\prime}(t)=e^{-t}$로 놓으면 $\displaystyle \alpha^{\prime}(t)=20$, $\displaystyle \beta(t)=-e^{-t}$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{1.5}^x(20t-9)e^{-t}\,dt&=\Biggl[-(20t-9)e^{-t}\Biggr]_{1.5}^x-\int_{1.5}^x20(-e^{-t})\,dt\\&=-\{(20x-9)e^{-x}-21e^{-1.5}\}+\Biggl[-20e^{-t}\Biggr]_{1.5}^x\\&=-(20x+11)e^{-x}+41e^{-1.5}\end{aligned}$

이다. 따라서

$\displaystyle \begin{aligned}A(x)&=\int_{1.5}^x(10t^2-9t-9)e^{-t}\,dt\\&=(-10x^2+9x+9)e^{-x}+\int_{1.5}^x(20t-9)e^{-t}\,dt\\&=(-10x^2-11x-2)e^{-x}+41e^{-1.5}\end{aligned}$

(ii) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}A(x)$를 구하면 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\{(-10x^2-11x-2)e^{-x}+41e^{-1.5}\}=41e^{-1.5}$이다. (끝)

[문제 3-3]

(풀이) 함수 $\displaystyle f(t)=(10t^2-9t-9)e^{-t}\ (t\ge1.5)$

$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(t)&=(20t-9)e^{-t}-(10t^2-9t-9)e^{-t}=(-10t^2+29t)e^{-t}\\f^{\prime\prime}(t)&=(-20t+29)e^{-t}-(-10t^2+29t)e^{-t}=(10t^2-49t+29)e^{-t}\end{aligned}$

$\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=0$에서 $\displaystyle t=\frac{49-\sqrt{49^2-40\times29}}{20}=\frac{49-\sqrt{1241}}{20}$ 또는 $\displaystyle t=\frac{49+\sqrt{1241}}{20}$이다.

$\displaystyle t>1.5$이므로 $\displaystyle t=\frac{49+\sqrt{1241}}{20}$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)$의 부호를 조사하여 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=0$인 점 $\displaystyle t=\frac{49+\sqrt{1241}}{20}$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)$의 부호가 바뀌므로 $\displaystyle a=\frac{49+\sqrt{1241}}{20}$이다. (끝)