의예과 1번

(문제 1-1)

(정답) $\displaystyle a=1771$

(풀이) 건너야할 유리줄의 개수를 $\displaystyle m$, 강화유리를 찾을 확률을 $\displaystyle p$라고 하면,

1번째 사람이 생존할 확률은 $\displaystyle p^m$이다.∵ $\displaystyle m$개의 강화유리를 찾아야 함.

2번째 사람이 생존할 확률은 $\displaystyle p^m+{}_{m}\mathrm{C}_{1}p^{m-1}(1-p)^1$이다.∵ 1번째 사람이 생존하여 2번째 사람이 공짜로 생존할 확률+ 1번째 사람이 탈락하고 2번째 사람이 생존할 확률& 1번째 사람이 탈락하고 2번째 사람이 생존하는 경우는$\displaystyle m$개의 강화유리 중 1개는 구분하기에 실패하고 나머지 $\displaystyle m-1$개는 성공해야함.

3번째 사람이 생존할 확률은 $\displaystyle p^m+{}_{m}\mathrm{C}_{1}p^{m-1}(1-p)^1+{}_{m}\mathrm{C}_{2}p^{m-2}(1-p)^2$이다.∵ 2번째 사람이 생존하여 3번째 사람이 공짜로 생존할 확률+ 2번째 사람이 탈락하고 3번째 사람이 생존할 확률& 2번째 사람이 탈락하고 3번째 사람이 생존하는 경우는$\displaystyle m$개의 강화유리 중 2개는 구분하기에 실패하고 나머지 $\displaystyle m-2$개는 성공해야함.

⋮

$\displaystyle i$번째 사람이 생존할 확률은 $\displaystyle \sum_{r=0}^{i-1}{}_{m}\mathrm{C}_{r}p^{m-r}(1-p)^r$

따라서, 20개의 징검다리에서 마지막 참가자인 18번째 사람이 생존할 확률은 $\displaystyle \sum_{r=0}^{17}{}_{20}\mathrm{C}_{r}(3/4)^{20-r}(1/4)^r$이고 이를 계산하면

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{r=0}^{17}{}_{20}\mathrm{C}_{r}(3/4)^{20-r}(1/4)^r&=1-(1/4^{20})\sum_{r=18}^{20}{}_{20}\mathrm{C}_{r}3^{20-r}\\&=1-(1/4^{20})({}_{20}\mathrm{C}_{18}3^2+{}_{20}\mathrm{C}_{19}3^1+{}_{20}\mathrm{C}_{20}3^0)\\&=1-({}_{20}\mathrm{C}_{2}3^2+{}_{20}\mathrm{C}_{1}3^1+{}_{20}\mathrm{C}_{0}3^0)/2^{40}\\&=1-\left(\frac{20\cdot19}{2\cdot1}\cdot9+\frac{20}1\cdot3+1\cdot1\right)/2^{40}\\&=1-(1710+60+1)/2^{40}\\&=1-\frac{1771}{2^{40}}\end{aligned}$

이다. 그러므로 정답은 1771이다.

(문제 1-2)

(정답) $\displaystyle 26\ (=37-8-1-1-1)$

참고로 $\displaystyle \frac{2^{37}\cdot3^8\cdot5^1\cdot17\cdot19}{10^{20}}$으로부터 $\displaystyle b_1=37$, $\displaystyle b_2=8$, $\displaystyle b_3=1$, $\displaystyle b_4=b_5=b_6=0$, $\displaystyle b_7=1$, $\displaystyle b_8=1$

(풀이) 먼저 그래프를 통해 $\displaystyle q$값을 구하자. 관찰 시간이 0.1초 늘어날 때마다 강화유리를 찾을 확률이 $\displaystyle q$만큼 증가하므로 관찰시간이 9.9초보다 클때 강화유리를 찾을 확률은 $\displaystyle 1/2+100q=1$이다. 따라서 $\displaystyle q=1/200$이다.

$\displaystyle i$번째 사람이 목적지에 도달하는 시간을 $\displaystyle T_i$, 한 줄의 징검다리를 건너 뛰는데 걸리는 시간을 $\displaystyle k$초라고 하자. 그러면, $\displaystyle T_i$는 $\displaystyle m$개의 유리줄을 관찰하는 시간 $\displaystyle mt$, $\displaystyle i$번째 사람이 $\displaystyle m$개의 징검다리를 건너 도착지에 도착하는데 걸리는 시간 $\displaystyle (m+1)k$, 그리고 $\displaystyle i$번째 사람의 앞 사람들 $\displaystyle i-1$명이 징검다리를 건너는데 필요한 시간 $\displaystyle (i-1)k$의 합이다. 즉,$\displaystyle T_i=mt+(m+1)k+(i-1)k$

전체 참가자 중 17번째 사람이 시간 초과로 탈락하였고 16번째 사람은 통과하였으므로 $\displaystyle T_{16}\le112$, $\displaystyle T_{17}>112$이다.따라서$\displaystyle 20t+21\cdot2+15\cdot2=T_{16}\le112<T_{17}=20t+21\cdot2+16\cdot2$

이다. 이를 통해 $\displaystyle t$의 범위를 정하면 $\displaystyle 1.9<t\le2$이다. 이 범위의 시간에서 강화유리를 찾을 확률은 $\displaystyle 1/2+20q=1/2+20/200=5/10+1/10=6/10=0.6$이다.

17번째 사람이 시간 초과로 탈락하는 경우에 강화유리를 찾을 확률 $\displaystyle p=0.6$을 사용하자. 14, 15, 16번째 사람이 생존할 확률은 13번째 사람이 탈락하고 14번째 사람이 생존할 확률을 계산하면 된다. 13번째 사람이 탈락하고 14번째 사람이 생존할 확률은 20개의 강화유리 중 13개는 구분하기에 실패하고 나머지 7개는 성공해야하는 확률이므로 그 값은 $\displaystyle {}_{20}\mathrm{C}_{13}0.6^70.4^{13}$이다. 이를 계산하면 아래와 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}{}_{20}\mathrm{C}_{13}0.6^70.4^{13}&={}_{20}\mathrm{C}_{7}\cdot6^7\cdot4^{13}/10^{20}\\&=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14}{7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot2^7\cdot3^7\cdot2^{26}\cdot\frac1{10^{20}}\\&=\frac{(19\cdot17\cdot2^4\cdot3\cdot5)\cdot(2^7\cdot3^7\cdot2^{26})}{10^{20}}=\frac{2^{37}\cdot3^8\cdot5^1\cdot17^1\cdot19^1}{10^{20}}\end{aligned}$

그러므로 $\displaystyle b_1=37$, $\displaystyle b_2=8$, $\displaystyle b_3=1$, $\displaystyle b_4=b_5=b_6=0$, $\displaystyle b_7=1$, $\displaystyle b_8=1$이다. 따라서 답은 $\displaystyle 26\ (=37-8-1-1-1)$이다.

(문제 1-3)

(정답) $\displaystyle f(t)=\begin{cases}e^t(\sin t+1/2),&0\le t<t^*\text{인 경우}\\1,&t^*\le t\text{인 경우}\end{cases}$

(풀이) 주어진 조건 (다)에 있는 식 $\displaystyle \int_a^xf(t)\,dt=-\frac{\sin x+\cos x}2e^x+f(x)$을 미분하면

$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=-\frac{\cos x-\sin x}2e^x-\frac{\sin x+\cos x}2e^x+f^{\prime}(x)=-e^x\cos x+f^{\prime}(x)\\\Rightarrow\quad f(x)-f^{\prime}(x)&=-e^x\cos x\quad\Rightarrow\quad e^{-x}(f(x)-f^{\prime}(x))=-\cos x\end{aligned}$

여기에서 $\displaystyle g(x)=e^{-x}f(x)$라고 하자. 그리고 $\displaystyle g(x)$를 미분하면,$\displaystyle g^{\prime}(x)=-e^{-x}f(x)+e^{-x}f^{\prime}(x)=-e^{-x}(f(x)-f^{\prime}(x))=\cos x$

이므로 $\displaystyle g(x)=\sin x+C$, $\displaystyle C$는 적분상수이다. 따라서 $\displaystyle f(x)$를 아래와 같이 구할 수 있다.$\displaystyle f(x)=e^x(\sin x+C)$

적분상수 $\displaystyle C$를 정하기 위해 주어진 조건 (가)를 사용하자. 조건 (가)에 의해서 $\displaystyle f(0)=1/2$이다. 따라서, $\displaystyle f(0)=1\cdot(0+C)=1/2$이므로 $\displaystyle C=1/2$이다.

위의 계산 결과와 주어진 조건 (나)와 (라)에 의해서 함수 $\displaystyle f(t)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=\begin{cases}e^t(\sin t+1/2),&t\le t^*\text{인 경우}\\1,&t>t^*\text{인 경우}\end{cases}$