의예과 2번

(문제 2-1)

(정답) $\displaystyle a=1/2$

(풀이) 제시문 (나)에 의해서 $\displaystyle h(x)$는 점 $\displaystyle (x,f(x))$에서 함수 $\displaystyle f(x)$에 접하는 직선이 함수 $\displaystyle f(x)$와 만나는 점의 개수이다.

$\displaystyle x=0$인 경우, 접선은 $\displaystyle x$축에 평행하며 함수 $\displaystyle f(x)$와 무수히 많은 점 ($\displaystyle x=2,4,6,\ldots$)에서 만난다. $\displaystyle x$의 값이 점점 커지며 $\displaystyle 1/2$에 가까워질수록 접선의 기울기는 점점 작아지며 (기울기는 음수) 함수 $\displaystyle f(x)$와 만나는 점의 개수도 점점 작아진다.

$\displaystyle 0<x<1/2$인 경우, 접선은 함수 $\displaystyle f(x)$와 유한개의 점에서 만난다. 여기에서 접선이 $\displaystyle (x,f(x))$ 이외의 점에서 $\displaystyle f(x)$와 접하는 경우 전체 만나는 점의 개수는 짝수개이며 접선이 $\displaystyle (x,f(x))$ 이외의 점에서 $\displaystyle f(x)$와 접하지 않는 경우 전체 만나는 점의 개수는 홀수개이다.

$\displaystyle x=1/2$인 경우를 보면, 점 $\displaystyle (1/2,0)$에서 함수 $\displaystyle f(x)$에 접하는 직선은 함수 $\displaystyle f(x)$와 접점 외에 만나는 점이 없다. 그러므로 $\displaystyle h(1/2)=0$이다.

$\displaystyle x=1$인 경우, 접선은 $\displaystyle x$축에 평행하며 함수 $\displaystyle f(x)$와 무수히 많은 점 ($\displaystyle x=3,5,7,\ldots$)에서 만난다. $\displaystyle x$의 값이 점점 작아지며 $\displaystyle 1/2$에 가까워지는 경우, 접선의 기울기는 점점 작아지며 (기울기는 음수) 함수 $\displaystyle f(x)$와 만나는 점의 개수는 0개이다.

그러므로 $\displaystyle h(x)$를 그래프로 나타내면 아래와 같다.

좌극한이 불연속이며 우극한이 연속인 점은 $\displaystyle 1/2$이 유일하다.

(문제 2-2)

(정답) $\displaystyle k=-\frac{1+\pi^2}{e+\pi\sqrt e}$

(풀이) 함수 $\displaystyle h(x)$의 그래프는 아래와 같다.

그러므로 $\displaystyle h(x)=0$인 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle [1/2,1)$이다.

구간 $\displaystyle [1/2,1]$에서 $\displaystyle p(x)=ke^xf(x)$가 확률밀도함수가 되기 위해서 다음을 만족해야한다.$\displaystyle \int_{1/2}^1ke^x\cos(\pi x)\,dx=1$

부분적분을 사용하여 $\displaystyle I=\int_{1/2}^1e^x\cos(\pi x)\,dx$을 적분하면

$\displaystyle \begin{aligned}I&=\int_{1/2}^1e^x\cos(\pi x)\,dx=\Biggl[e^x\cos(\pi x)\Biggr]_{1/2}^1-\int_{1/2}^1(-\pi)e^x\sin(\pi x)\,dx\\&=(-e)+\pi\left(\Biggl[e^x\sin(\pi x)\Biggr]_{1/2}^1-\int_{1/2}^1\pi e^x\cos(\pi x)\,dx\right)\\&=-e-\pi\sqrt e-\pi^2\int_{1/2}^1e^x\cos(\pi x)\,dx=-e-\pi\sqrt e-\pi^2I\\\Rightarrow\quad I&=-\frac{e+\pi\sqrt e}{1+\pi^2}\end{aligned}$

이다. 그러므로 문제의 조건 $\displaystyle \int_{1/2}^1e^x\cos(\pi x)\,dx=\frac1k$에 의해서 $\displaystyle k=-\frac{1+\pi^2}{e+\pi\sqrt e}$이다.

(문제 2-3)

(정답) $\displaystyle \frac{9\pi}2$

(풀이) $\displaystyle b$가 $\displaystyle h(b)=8$를 만족시키므로 점 $\displaystyle (b,f(b))$에서의 접선이 $\displaystyle (b,f(b))$ 이외의 점 $\displaystyle (c,f(c))$에서 $\displaystyle f(x)$와 접한다. ($\displaystyle c>b$)

이 경우 코사인 함수 $\displaystyle f(x)=\cos(\pi x)$와 접선의 그래프로부터 $\displaystyle f^{\prime}(b)=f^{\prime}(c)$, $\displaystyle c=9-b$임을 알 수 있다.

두 점 $\displaystyle (b,f(b))$, $\displaystyle (c,f(c))$사이의 평균변화율과 점 $\displaystyle (b,f(b))$에서의 순간변화율이 같으므로$\displaystyle \frac{\cos(b\pi)-\cos(c\pi)}{b-c}=-\pi\sin(b\pi)$

이고, $\displaystyle \cos(c\pi)=-\cos(b\pi)$와 $\displaystyle c=9-b$를 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}\frac{2\cos(b\pi)}{2b-9}&=-\pi\sin(b\pi)\quad\Rightarrow\quad\frac{\cos(b\pi)}{\sin(b\pi)}=-\pi\frac{2b-9}2\\\Rightarrow\quad\cot(b\pi)&=-\pi(b-9/2)\quad\Rightarrow\quad b\pi+\cot(b\pi)=9\pi/2\end{aligned}$