자연계열 2번

[문제 2-1]

(풀이) $\displaystyle f(x)=x^2$이라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x$이다. $\displaystyle A(a,a^2)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(a)=2a$이고 $\displaystyle B(b,b^2)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle f^{\prime}(b)=2b$이다. 따라서 점 $\displaystyle A(a,a^2)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^2$이고 점 $\displaystyle B(b,b^2)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=2bx-b^2$이다. 두 접선의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 2ax-a^2=2bx-b^2$에서 $\displaystyle x=\frac{a+b}2$이다. 따라서 넓이는

$\displaystyle \begin{aligned}\text{넓이}&=\int_a^{\frac{a+b}2}[x^2-(2ax-a^2)]\,dx+\int_{\frac{a+b}2}^b[x^2-(2bx-b^2)]\,dx\\&=\int_a^{\frac{a+b}2}(x-a)^2\,dx+\int_{\frac{a+b}2}^b(x-b)^2\,dx\\&=\Biggl[\frac13(x-a)^3\Biggr]_a^{\frac{a+b}2}+\Biggl[\frac13(x-b)^3\Biggr]_{\frac{a+b}2}^b\\&=\frac23\left(\frac{b-a}2\right)^3=\frac{(b-a)^3}{12}\end{aligned}$

(끝)

[문제 2-2]

(풀이) $\displaystyle f(t)=\frac{mb+na}{m+n}=\frac1{8(m+n)}\{-3(t-\sqrt{t^2+4t})m-(t-\sqrt{t^2+16t})n\}$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\text{(i)}\quad\lim_{t\to\infty}(t-\sqrt{t^2+4t})&=\lim_{t\to\infty}\frac{(t-\sqrt{t^2+4t})(t+\sqrt{t^2+4t})}{t+\sqrt{t^2+4t}}\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{t^2-(t^2+4t)}{t+\sqrt{t^2+4t}}\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{-4t}{t+\sqrt{t^2+4t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{-4}{1+\sqrt{1+4/t}}=-2\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\text{(ii)}\quad\lim_{t\to\infty}(t-\sqrt{t^2+16t})&=\lim_{t\to\infty}\frac{(t-\sqrt{t^2+16t})(t+\sqrt{t^2+16t})}{t+\sqrt{t^2+16t}}\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{t^2-(t^2+16t)}{t+\sqrt{t^2+16t}}\\&=\lim_{t\to\infty}\frac{-16t}{t+\sqrt{t^2+16t}}=\lim_{t\to\infty}\frac{-16}{1+\sqrt{1+16/t}}=-8\end{aligned}$

이다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{t\to\infty}f(t)&=\frac1{8(m+n)}\lim_{t\to\infty}\{(-3)(t-\sqrt{t^2+4t})m-(t-\sqrt{t^2+16t})n\}\\&=\frac1{8(m+n)}\left\{\lim_{t\to\infty}\{(-3)m(t-\sqrt{t^2+4t})\}+\lim_{t\to\infty}\{-n(t-\sqrt{t^2+16t})\}\right\}\\&=\frac1{8(m+n)}\{(-3)m\times(-2)+(-n)\times(-8)\}=\frac{3m+4n}{4(m+n)}\end{aligned}$이다. (끝)