자연계열 1번

[문제 1-1] (답) $\displaystyle \frac12$

(풀이) 자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle \frac1{n^2+n}\le\frac1{n^2+k}\le\frac1{n^2+1}\ (1\le k\le n)$를 이용한다.그러므로 다음 부등식$\displaystyle \frac{(1+2+\cdots+n)}{n^2+n}\le\frac1{n^2+1}+\frac2{n^2+2}+\cdots+\frac n{n^2+n}\le\frac{(1+2+\cdots+n)}{n^2+1}$가 성립한다. 따라서$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(1+2+\cdots+n)}{n^2+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n+1)}2}{n^2+n}=\frac12,\quad\lim_{n\to\infty}\frac{(1+2+\cdots+n)}{n^2+1}=\frac12$이므로, 제시문 (가)에 의하여,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2+1}+\frac2{n^2+2}+\cdots+\frac n{n^2+n}\right)=\frac12$이다.

[문제 1-2] (답) $\displaystyle \frac23$

(풀이)

자연수 $\displaystyle n$에 대하여, $\displaystyle \frac2{(2n-1)(2n+3)}=\frac12\left(\frac1{2n-1}-\frac1{2n+3}\right)$을 이용한다. 그러므로 급수의 부분합 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{(2k-1)(2k+3)}$을 구하면,Correction. 급수의 부분합을 구하는 식의 분자 1은 2의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\frac2{(2k-1)(2k+3)}=\sum_{k=1}^n\frac12\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+3}\right)\\&=\frac12\left(\frac11-\frac15+\frac13-\frac17+\frac15-\frac19+\cdots+\frac1{2n-1}-\frac1{2n+3}\right)\\&=\frac12\left(\frac11+\frac13-\frac1{2n+1}-\frac1{2n+3}\right)\end{aligned}$이다. 따라서 제시문 (나)에 의하여, 극한값은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\frac12\left(\frac11+\frac13\right)=\frac23$이고, 급수는 수렴한다.