의예과 2번

(문제 2-1) 우선 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$의 넓이와 $\displaystyle S_{2}$의 넓이를 구한 후 두 값의 차를 이용하여 $\displaystyle S_{1}$의 넓이를 구한다. 오른쪽 그림과 같이 보조선을 사용한다.

< 1 > $\displaystyle S_{1}+S_{2}$의 넓이를 구하자.영역 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$는 정삼각형 ABC에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AO}_{1}\mathrm{P}_{1}$, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BO}_{2}\mathrm{P}_{2}$, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}\mathrm{P}_{1}\mathrm{Q}_{1}$, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}\mathrm{P}_{2}\mathrm{Q}_{2}$를 뺀 영역이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}\mathrm{BO}_{2}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{1}\mathrm{B}}=x$라고 하면, $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{1}\mathrm{O}_{2}}=4$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{2}\mathrm{B}}=2$, $\displaystyle \angle B=\frac{\pi}{3}$이므로 코사인법칙에 의해서 $\displaystyle 4^{2}=x^{2}+2^{2}-4x\cos\frac{\pi}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle 0<x=\sqrt{13}+1$이고, 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 $\displaystyle \sqrt{13}+3$이 된다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AO}_{1}\mathrm{P}_{1}$과 삼각형 $\displaystyle \mathrm{BO}_{2}\mathrm{P}_{2}$는 모두 한 변의 길이가 2인 정삼각형이고, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}\mathrm{P}_{1}\mathrm{Q}_{1}$과 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}\mathrm{P}_{2}\mathrm{Q}_{2}$는 모두 원주각이 $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$이다. 그러므로 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$의 넓이는 다음과 같다.Correction. 여기서 부채꼴의 ‘원주각’은 ‘중심각’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned} & \frac{(\sqrt{13}+3)^{2}\sqrt{3}}{4}-2\times\left(\frac{2^{2}\sqrt{3}}{4}\right)-2\times\left(\frac{1}{2}\times2^{2}\times\frac{2\pi}{3}\right) \\ &= \frac{(22+6\sqrt{13})\sqrt{3}}{4}-2\sqrt{3}-\frac{8\pi}{3}=\frac{7\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{39}}{2}-\frac{8\pi}{3} \end{aligned}$

< 2 > $\displaystyle S_{2}$의 넓이를 구하자.영역 $\displaystyle S_{2}$는 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{HO}_{1}\mathrm{O}_{2}$에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{HO}_{2}\mathrm{P}_{2}$, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}\mathrm{Q}_{1}\mathrm{D}$, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}\mathrm{P}_{2}\mathrm{D}$를 뺀 영역이다. 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{HO}_{1}\mathrm{O}_{2}$의 밑변 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{1}\mathrm{B}}-\overline{\mathrm{HB}}=x-1=\sqrt{13}$이고 높이 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{2}\mathrm{H}}=\sqrt{3}$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{HO}_{2}\mathrm{P}_{2}$의 밑변 $\displaystyle \overline{\mathrm{HP}_{2}}=1$이고 높이 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{2}\mathrm{H}}=\sqrt{3}$이다. 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}\mathrm{Q}_{1}\mathrm{D}$의 원주각은 $\displaystyle \theta$이고, 부채꼴 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}\mathrm{P}_{2}\mathrm{D}$의 원주각은 $\displaystyle \frac{\pi}{3}-\theta$이다. 그러므로 $\displaystyle S_{2}$의 넓이는 다음과 같다.Correction. 여기서 부채꼴의 ‘원주각’은 ‘중심각’의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned} & \frac{1}{2}\times\sqrt{13}\times\sqrt{3}-\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}-\frac{1}{2}\times2^{2}\times\theta-\frac{1}{2}\times2^{2}\times\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \\ &= \frac{\sqrt{39}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi}{3} \end{aligned}$

< 3 > $\displaystyle S_{1}$의 넓이를 구하자.$\displaystyle S_{1}+S_{2}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{7\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{39}}{2}-\frac{8\pi}{3}$이고 $\displaystyle S_{2}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{39}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi}{3}$이므로 $\displaystyle S_{1}$의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}+\frac{3\sqrt{39}}{2}-\frac{8\pi}{3}\right)-\left(\frac{\sqrt{39}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi}{3}\right)=4\sqrt{3}+\sqrt{39}-2\pi$

(문제 2-2) 살수반경의 최솟값 $\displaystyle r$은 $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}_{1}}$과 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}$ 중 큰 값이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}_{1}}^{2}$과 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}^{2}$을 각각 계산하고 이 두 값 중 큰 값을 찾자. 오른쪽 그림과 같이 보조선을 사용한다.

< 1 > $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}_{1}}^{2}$을 구하자.$\displaystyle \overline{\mathrm{CP}_{1}}$은 정삼각형 ABC의 한 변의 길이에서 원 $\displaystyle \mathrm{O}_{1}$의 반지름을 뺀 값과 같다. 즉, $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}_{1}}^{2}=(\sqrt{13}+1)^{2}=14+2\sqrt{13}$이다.

< 2 > $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}^{2}$을 구하자.삼각형 $\displaystyle \mathrm{O}_{2}\mathrm{CD}$에 코사인법칙을 적용하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{2}\mathrm{C}}=\sqrt{13}+1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O}_{2}\mathrm{D}}=2$, $\displaystyle \angle CO_{2}D=\theta+\frac{\pi}{3}$이므로$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{CD}}^{2} &= (\sqrt{13}+1)^{2}+2^{2}-2\times(\sqrt{13}+1)\times2\times\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \\ &= (14+2\sqrt{13})+4-4(\sqrt{13}+1)\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \end{aligned}$삼각함수의 덧셈정리에 의해서$\displaystyle \cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\theta\cos\frac{\pi}{3}-\sin\theta\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta}{2}$직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{HO}_{1}\mathrm{O}_{2}$에서 $\displaystyle \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{4}$, $\displaystyle \cos\theta=\frac{\sqrt{13}}{4}$이므로$\displaystyle \cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\times\left(\frac{\sqrt{13}}{4}-\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac{\sqrt{13}-3}{8}$따라서$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\mathrm{CD}}^{2} &= (18+2\sqrt{13})-4(\sqrt{13}+1)\cos\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right) \\ &= (18+2\sqrt{13})-4(\sqrt{13}+1)\times\frac{\sqrt{13}-3}{8} \\ &= 13+3\sqrt{13} \end{aligned}$

< 3 > $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}^{2}$과 $\displaystyle \overline{\mathrm{CP}_{1}}^{2}$의 크기를 비교하자.$\displaystyle \left(\overline{\mathrm{CD}}^{2}-\overline{\mathrm{CP}_{1}}^{2}\right)=(13+3\sqrt{13})-(14+2\sqrt{13})=\sqrt{13}-1>0$따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{CD}}^{2}>\overline{\mathrm{CP}_{1}}^{2}$이므로 $\displaystyle r^{2}=\overline{\mathrm{CD}}^{2}=13+3\sqrt{13}$이다.