자연계열 3번

[문제 3-1] (답) $\displaystyle 27m+M=-97$

(풀이) $\displaystyle t=2\sin\frac x5+3$라고 하면 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해서 $\displaystyle -2+3\le t\le2+3$이다. 함수 $\displaystyle f\left(2\sin\frac x5+3\right)=f(t)$이므로 닫힌 구간 $\displaystyle [1,5]$에서 최댓값과 최솟값을 구하자.$\displaystyle f^{\prime}(t)=3t^2-4t=t(3t-4)$$\displaystyle 1\le t\le5$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$에서 $\displaystyle t=\frac43$이다. 닫힌 구간 $\displaystyle [1,5]$에서 $\displaystyle f(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=\frac43$에서 극솟값을 갖는다. 최대·최소 정리에 의하면$\displaystyle f(1)=-6$, $\displaystyle f\left(\frac43\right)=-\frac{167}{27}$, $\displaystyle f(5)=70$이므로, 닫힌 구간 $\displaystyle [1,5]$에서 $\displaystyle f(t)$는 $\displaystyle t=\frac43$에서 최솟값 $\displaystyle m=-\frac{167}{27}$, $\displaystyle t=5$에서 최댓값 $\displaystyle M=70$을 갖는다. 따라서 $\displaystyle 27m+M=27\left(-\frac{167}{27}\right)+70=-97$이다.

[문제 3-2] (답) $\displaystyle \alpha\beta=15$

(풀이) $\displaystyle f(x)=x^3-2x^2-5$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-4x=x(3x-4)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=0$ 또는 $\displaystyle x=\frac43$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극댓값, $\displaystyle x=\frac43$에서 극솟값을 갖는다. 이때 $\displaystyle f(0)=-5$이다(그림 1). 함수 $\displaystyle y=f(x-1)+3$이 나타내는 그래프 개형은 $\displaystyle y=f(x)$이 나타내는 그래프 개형을 $\displaystyle x$축의 방향으로 1만큼, $\displaystyle y$축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 함수이다(그림 2). 또 $\displaystyle y=f(x-1)+3$의 $\displaystyle x$절편 $\displaystyle (\mathrm{C},0)$에서$\displaystyle y=|f(x-1)+3|=\begin{cases}f(x-1)+3,&x\ge\mathrm{C}\\-(f(x-1)+3),&x<\mathrm{C}\end{cases}$이므로 함수 $\displaystyle y=|f(x-1)+3|$의 그래프 개형은 (그림 3)이다. 또 $\displaystyle g(x)=\frac52|f(x-1)+3|$의 그래프 개형은 (그림 4)이다.

$\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=\mathrm{A}$, $\displaystyle x=\mathrm{C}$에서 극솟값, $\displaystyle x=\mathrm{B}$에서 극댓값을 가지므로(그림 4), $\displaystyle \alpha=3$이다. 또 $\displaystyle g(1)=\frac52|f(0)+3|=5$, $\displaystyle g(\mathrm{C})=0$이므로 $\displaystyle \beta=5$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha\beta=3\times5=15$이다.