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자연계열 3번

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연세대 미래캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2023su/jayeon_3

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【문제 3】아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

(가) 방정식 h(x,y)=0\displaystyle h(x,y)=0이 나타내는 도형을 x\displaystyle x축의 방향으로 a\displaystyle a만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 b\displaystyle b만큼 평행이동한 도형의 방정식은 h(x−a,y−b)=0\displaystyle h(x-a,y-b)=0이 된다.

(나) 실수 x\displaystyle x의 절댓값 ∣x∣\displaystyle |x|는 수직선 위의 원점에서 x\displaystyle x에 대응하는 점까지 거리를 나타낸다. 즉,∣x∣={x(x≥0)−x(x<0)\displaystyle |x|=\begin{cases}x&(x\ge0)\\-x&(x<0)\end{cases}

(다) 함수 y=h(x)\displaystyle y=h(x)가 x=a\displaystyle x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여 h(x)≥h(a)\displaystyle h(x)\ge h(a)일 때, 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소라 하며, h(a)\displaystyle h(a)를 극솟값이라고 한다. 또, x=a\displaystyle x=a를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 x\displaystyle x에 대하여 h(x)≤h(a)\displaystyle h(x)\le h(a)일 때, 함수 h(x)\displaystyle h(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극대라 하며, h(a)\displaystyle h(a)를 극댓값이라고 한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.

(라) 두 함수 f(x)\displaystyle f(x)와 g(x)\displaystyle g(x)를 다음과 같이 정의하자.f(x)=x3−2x2−5,g(x)=52∣f(x−1)+3∣\displaystyle f(x)=x^3-2x^2-5,\quad g(x)=\frac52|f(x-1)+3|

[문제 3-1] 제시문 (라)에서 주어진 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대해서 y=f(2sin⁡x5+3)\displaystyle y=f\left(2\sin\frac x5+3\right)의 최댓값을 M\displaystyle M, 최솟값을 m\displaystyle m이라고 하자. 27m+M\displaystyle 27m+M의 값을 구하시오.(17점)

[문제 3-2] 제시문 (라)에서 주어진 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 극값을 갖는 x\displaystyle x의 값은 α\displaystyle \alpha개이다. 이때 g(x)\displaystyle g(x)의 극솟값을 모두 더한 값을 β\displaystyle \beta라고 하자. αβ\displaystyle \alpha\beta의 값을 구하시오.(18점)

해설강의 준비중

연세대 미래캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/yonsei_mirae/2023su/jayeon_3

[문제 3-1] (답) 27m+M=−97\displaystyle 27m+M=-97

(풀이) t=2sin⁡x5+3\displaystyle t=2\sin\frac x5+3라고 하면 모든 실수 x\displaystyle x에 대해서 −2+3≤t≤2+3\displaystyle -2+3\le t\le2+3이다. 함수 f(2sin⁡x5+3)=f(t)\displaystyle f\left(2\sin\frac x5+3\right)=f(t)이므로 닫힌 구간 [1,5]\displaystyle [1,5]에서 최댓값과 최솟값을 구하자.f′(t)=3t2−4t=t(3t−4)\displaystyle f^{\prime}(t)=3t^2-4t=t(3t-4)1≤t≤5\displaystyle 1\le t\le5이므로 f′(t)=0\displaystyle f^{\prime}(t)=0에서 t=43\displaystyle t=\frac43이다. 닫힌 구간 [1,5]\displaystyle [1,5]에서 f(t)\displaystyle f(t)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

t\displaystyle t1\displaystyle 1⋯\displaystyle \cdots43\displaystyle \frac43⋯\displaystyle \cdots5\displaystyle 5
f′(t)\displaystyle f^{\prime}(t)−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +
f(t)\displaystyle f(t)−6\displaystyle -6↘\displaystyle \searrow−16727≈−6.19\displaystyle -\frac{167}{27}\approx-6.19↗\displaystyle \nearrow70\displaystyle 70

f(t)\displaystyle f(t)는 t=43\displaystyle t=\frac43에서 극솟값을 갖는다. 최대·최소 정리에 의하면f(1)=−6\displaystyle f(1)=-6, f(43)=−16727\displaystyle f\left(\frac43\right)=-\frac{167}{27}, f(5)=70\displaystyle f(5)=70이므로, 닫힌 구간 [1,5]\displaystyle [1,5]에서 f(t)\displaystyle f(t)는 t=43\displaystyle t=\frac43에서 최솟값 m=−16727\displaystyle m=-\frac{167}{27}, t=5\displaystyle t=5에서 최댓값 M=70\displaystyle M=70을 갖는다. 따라서 27m+M=27(−16727)+70=−97\displaystyle 27m+M=27\left(-\frac{167}{27}\right)+70=-97이다.

[문제 3-2] (답) αβ=15\displaystyle \alpha\beta=15

(풀이) f(x)=x3−2x2−5\displaystyle f(x)=x^3-2x^2-5에서 f′(x)=3x2−4x=x(3x−4)\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-4x=x(3x-4)이므로 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0에서 x=0\displaystyle x=0 또는 x=43\displaystyle x=\frac43이다. 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x\displaystyle x⋯\displaystyle \cdots0\displaystyle 0⋯\displaystyle \cdots43\displaystyle \frac43⋯\displaystyle \cdots
f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)+\displaystyle +0\displaystyle 0−\displaystyle -0\displaystyle 0+\displaystyle +
f(x)\displaystyle f(x)↗\displaystyle \nearrow−5\displaystyle -5↘\displaystyle \searrow−16727\displaystyle -\frac{167}{27}↗\displaystyle \nearrow

f(x)\displaystyle f(x)는 x=0\displaystyle x=0에서 극댓값, x=43\displaystyle x=\frac43에서 극솟값을 갖는다. 이때 f(0)=−5\displaystyle f(0)=-5이다(그림 1). 함수 y=f(x−1)+3\displaystyle y=f(x-1)+3이 나타내는 그래프 개형은 y=f(x)\displaystyle y=f(x)이 나타내는 그래프 개형을 x\displaystyle x축의 방향으로 1만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프의 함수이다(그림 2). 또 y=f(x−1)+3\displaystyle y=f(x-1)+3의 x\displaystyle x절편 (C,0)\displaystyle (\mathrm{C},0)에서y=∣f(x−1)+3∣={f(x−1)+3,x≥C−(f(x−1)+3),x<C\displaystyle y=|f(x-1)+3|=\begin{cases}f(x-1)+3,&x\ge\mathrm{C}\\-(f(x-1)+3),&x<\mathrm{C}\end{cases}이므로 함수 y=∣f(x−1)+3∣\displaystyle y=|f(x-1)+3|의 그래프 개형은 (그림 3)이다. 또 g(x)=52∣f(x−1)+3∣\displaystyle g(x)=\frac52|f(x-1)+3|의 그래프 개형은 (그림 4)이다.

함수의 평행이동과 절댓값에 따른 그래프 1~4

g(x)\displaystyle g(x)가 x=A\displaystyle x=\mathrm{A}, x=C\displaystyle x=\mathrm{C}에서 극솟값, x=B\displaystyle x=\mathrm{B}에서 극댓값을 가지므로(그림 4), α=3\displaystyle \alpha=3이다. 또 g(1)=52∣f(0)+3∣=5\displaystyle g(1)=\frac52|f(0)+3|=5, g(C)=0\displaystyle g(\mathrm{C})=0이므로 β=5\displaystyle \beta=5이다. 따라서 αβ=3×5=15\displaystyle \alpha\beta=3\times5=15이다.

[문제 3-1] (17점)5점: t=2sin⁡x5+3\displaystyle t=2\sin\frac x5+3라고 하면 모든 실수 x\displaystyle x에 대해서 1≤t≤5\displaystyle 1\le t\le5을 구할 수 있다.5점: f(t)\displaystyle f(t)는 t=43\displaystyle t=\frac43에서 극솟값을 구할 수 있다.7점: 닫힌 구간 [1,5]\displaystyle [1,5]에서 f(t)\displaystyle f(t)는 t=43\displaystyle t=\frac43에서 최솟값 −16727\displaystyle -\frac{167}{27}, t=5\displaystyle t=5에서 최댓값 70\displaystyle 70을 구하고 27m+M=−97\displaystyle 27m+M=-97을 구할 수 있다.

[문제 3-2] (18점)8점: y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프 개형을 그릴 수 있다.5점: g(x)=52∣f(x−1)+3∣\displaystyle g(x)=\frac52|f(x-1)+3|의 그래프 개형을 그릴 수 있다.5점: αβ=15\displaystyle \alpha\beta=15를 구할 수 있다.

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