의예과 1번

[문제 1-1] (답) $\displaystyle k=\frac1{2n}\ln(5+3\sqrt2)$

(풀이) $\displaystyle f(x)=e^{nx}+e^{-nx}$라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n(e^{nx}-e^{-nx})$이므로 $\displaystyle e^{nx}-e^{-nx}=2$이고 $\displaystyle e^{2nx}-2e^{nx}-1=0$이다. $\displaystyle e^{nx}=X\ (X>0)$로 놓으면 $\displaystyle X^2-2X-1=0$이고 $\displaystyle X=1\pm\sqrt2$이다. 그런데 $\displaystyle X>0$이므로 $\displaystyle e^{nx}=1+\sqrt2$이므로 $\displaystyle a_n=\frac1n\ln(1+\sqrt2)$이다. 또$\displaystyle \lim_{n\to0}\left(\frac1{a_n}+1\right)^{\frac1n}=\lim_{a_n\to\infty}\left(\frac1{a_n}+1\right)^{\frac{a_n}{\ln(1+\sqrt2)}}=\lim_{a_n\to\infty}\left\{\left(\frac1{a_n}+1\right)^{a_n}\right\}^{\frac1{\ln(1+\sqrt2)}}=e^{\frac1{\ln(1+\sqrt2)}}$이므로 $\displaystyle \alpha=e^{\frac1{\ln(1+\sqrt2)}}$이다.

$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{nf(x)}=\frac{e^{nx}-e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}=\frac{e^{nx}+e^{-nx}-2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}=1-\frac{2e^{-nx}}{e^{nx}+e^{-nx}}\quad\cdots\text{①}$

$\displaystyle x$의 값이 증가하면 $\displaystyle e^{nx}+e^{-nx}$의 값이 증가하고 $\displaystyle \frac1{e^{nx}+e^{-nx}}$와 $\displaystyle e^{-nx}$의 값은 감소하므로 $\displaystyle g^{\prime}(x)$는 증가한다. 그러므로 닫힌 구간 $\displaystyle [0,k]$에서 함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x=k$에서 최대이고 최댓값은 $\displaystyle g^{\prime}(k)=1-\frac{2e^{-nk}}{e^{nk}+e^{-nk}}=\frac13e^{\frac1{\ln\alpha}}=\frac13e^{\ln(1+\sqrt2)}=\frac{1+\sqrt2}3$이므로 $\displaystyle 1-\frac{2e^{-nk}}{e^{nk}+e^{-nk}}=\frac{1+\sqrt2}3$이고 이 식의 양변을 정리하면$\displaystyle \frac{2-\sqrt2}6=\frac{e^{-nk}}{e^{nk}+e^{-nk}}\quad\cdots\text{②}$이다. 이때 $\displaystyle \frac{2-\sqrt2}6=t$라고 하고 ②에 대입하면 $\displaystyle t=\frac{e^{-nk}}{e^{nk}+e^{-nk}}$이고 식을 정리하면 $\displaystyle te^{nk}=e^{-nk}-te^{-nk}$이다. 이때 양변에 $\displaystyle e^{nk}$을 곱하면$\displaystyle e^{2nk}=\frac{1-t}t=\frac{1-\frac{2-\sqrt2}6}{\frac{2-\sqrt2}6}=5+3\sqrt2$이다. 따라서 $\displaystyle k=\frac1{2n}\ln(5+3\sqrt2)$이다.

[문제 1-2] (답) $\displaystyle 24\sqrt2\ln(1+\sqrt2)$

(풀이) 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle a_n=\frac1n\ln(1+\sqrt2)$, $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 2\sqrt2$이고 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 $\displaystyle x$좌표 $\displaystyle b_n=-\frac1n\ln(1+\sqrt2)$, $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle 2\sqrt2$이다.

삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이는 $\displaystyle 2\sqrt2\frac1n\ln(1+\sqrt2)=2\sqrt2\ln(1+\sqrt2)\frac1n$이고 $\displaystyle n=1,2,3,\cdots$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$의 넓이가 최대가 되는 경우는 $\displaystyle n=1$이고 이때$\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}(\ln(1+\sqrt2),2\sqrt2),\ \mathrm{Q}^{\prime}(-\ln(1+\sqrt2),2\sqrt2)$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{P}^{\prime}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-2\sqrt2=2(x-\ln(1+\sqrt2))$이며 이 접선을 $\displaystyle y$축 대칭하면 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$에서의 접선이 된다. 따라서 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-2\sqrt2=2(-x-\ln(1+\sqrt2))$이며 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle -2$이다.

포물선 $\displaystyle y^2=12x$ 위의 점 $\displaystyle (a,b)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac6b x+\frac{6a}b$이고 이 접선은 점 $\displaystyle \mathrm{Q}^{\prime}$에서의 접선과 수직이므로 $\displaystyle b=12$이다. 점 $\displaystyle (a,b)$는 포물선 $\displaystyle y^2=12x$ 위의 점이므로 $\displaystyle b^2=12a$이고 이 식에 $\displaystyle b=12$를 대입하여 풀면 $\displaystyle a=12$이다. 또 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OP}^{\prime}\mathrm{Q}^{\prime}$의 넓이는 $\displaystyle S=2\sqrt2\ln(1+\sqrt2)$이다. 따라서 $\displaystyle S\sqrt{ab}=24\sqrt2\ln(1+\sqrt2)$이다.