연세대 미래캠퍼스 2023학년도 수시 자연계열 2번 해설

【문제 2】아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (35점)

(가) 일반적으로 함수 $\displaystyle h(x)$ 와 실수 $\displaystyle x_0$ 에 대하여(1) 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 $\displaystyle x=x_0$ 에서 정의되어 있고(2) $\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)$ 가 존재하며(3) $\displaystyle \lim_{x\to x_0}h(x)=h(x_0)$ 일 때, 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 $\displaystyle x=x_0$ 에서 연속이라고 한다.

(나) 함수 $\displaystyle h(x)$ 가 어떤 열린구간의 모든 점에서 연속일 때, 함수 $\displaystyle h(x)$ 는 그 열린구간에서 연속이라고 한다. 또, 어떤 열린구간에서 연속인 함수를 그 열린구간에서의 연속함수라고 한다.

(다) 실수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d$ 와 양수 $\displaystyle k>0$ 에 대해서, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 를 다음과 같이 정의하자. $\displaystyle f(x)=\begin{cases}ax+b&(x<-3)\\-x^2+9&(-3\le x<0),\\cx+d&(0\le x)\end{cases}\quad g(x)=k(x-1)+12$

[문제 2-1] 제시문 (다)에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 그 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 가 모든 실수에서 연속인 함수가 되도록 하는 상수 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d$ 의 값을 구하고, 제시문 (다)에서 주어진 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 접하도록 하는 상수 $\displaystyle k$ 의 값을 구하시오.(15점)

[문제 2-2] 위의 [문제 2-1]에서 구한 $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle d$ , $\displaystyle k$ 에 대해서, 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=0$ 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.(20점)

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(문제 2-1) $\displaystyle x=-3$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 가 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to-3^+}f^{\prime}(x)=-2\cdot(-3)=6=\lim_{x\to-3^-}f^{\prime}(x)=a=6$ 그리고 $\displaystyle f(x)$ 가 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to-3^+}f(x)=0=\lim_{x\to-3^-}f(x)=-3a+b=-18+b=0$ 따라서 $\displaystyle a=6$ , $\displaystyle b=18$ 이다.

$\displaystyle x=0$ 에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 가 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}f^{\prime}(x)=0=\lim_{x\to-3^+}f^{\prime}(x)=c=0$ Correction. 극한의 $\displaystyle x\to-3^+$ 는 $\displaystyle x\to0^-$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그리고 $\displaystyle f(x)$ 가 연속이므로 $\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=9=\lim_{x\to0^-}f(x)=b=9$ Correction. 계수의 $\displaystyle b=9$ 는 $\displaystyle d=9$ 의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle c=0$ , $\displaystyle d=9$ 이다.

두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 접하므로 $\displaystyle y=-x^2+9$ 와 $\displaystyle y=kx+12-k$ 는 한 점에서 만난다. $\displaystyle \begin{aligned}-x^2+9&=kx+12-k\\\Rightarrow\quad0&=x^2+kx+3-k\\\Rightarrow\quad D&=k^2+4k-12=0\quad(D\text{는 판별식})\\\Rightarrow\quad0&=(k-2)(k+6)\\\Rightarrow\quad k&=2\quad(k\text{는 양수})\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle k=2$ 이다.

(문제 2-2) 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=0$ 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하기 위해 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=0$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하자. $\displaystyle -x^2+9=0\Rightarrow x=-3$

함수 $\displaystyle g(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=0$ 의 교점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하자. $\displaystyle 2x+10=0\Rightarrow x=-5$

두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 접점의 $\displaystyle x$ 좌표를 구하자. $\displaystyle 2x+10=-x^2+9\Rightarrow x^2+2x+1=0\Rightarrow x=-1$

정적분을 이용하여 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=0$ 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하면 다음과 같다. $\displaystyle \begin{aligned}\text{넓이}&=\int_{-5}^{-3}(g(x)-0)\,dx+\int_{-3}^{-1}(g(x)-f(x))\,dx\\&=\int_{-5}^{-3}(2x+10)\,dx+\int_{-3}^{-1}[(2x+10)-(-x^2+9)]\,dx\\&=\Biggl[x^2+10x\Biggr]_{-5}^{-3}+\Biggl[\frac13x^3+x^2+x\Biggr]_{-3}^{-1}\\&=\frac{20}3\end{aligned}$

그러므로 두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle y=0$ 으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{20}3$ 이다.

[문제 2-1] (15점)(상) 답이 맞고 그 이유를 명확히 제시한 경우(중상) 답이 틀렸지만 연속 조건과 접선 조건을 적용한 식이 모두 맞는 경우(중하) 답이 틀렸지만 연속 조건과 접선 조건을 적용한 식 중 하나만 맞는 경우(하) 답이 틀렸고 연속 조건과 접하는 조건을 적용한 식 모두 클린 경우

[문제 2-2] (20점)(상) 답이 맞고 그 이유를 명확히 제시한 경우(중상) 답이 틀렸지만 교점의 좌표를 찾는 식과 정적분 식이 모두 맞는 경우(중하) 답이 틀렸지만 교점의 좌표를 찾는 식과 정적분 식 중 하나만 맞는 경우(하) 답이 틀렸고 연속 조건과 접하는 조건을 적용한 식 모두 클린 경우

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자연계열 2번

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