자연계열 2번

(문제 2-1) $\displaystyle x=-3$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to-3^+}f^{\prime}(x)=-2\cdot(-3)=6=\lim_{x\to-3^-}f^{\prime}(x)=a=6$그리고 $\displaystyle f(x)$가 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to-3^+}f(x)=0=\lim_{x\to-3^-}f(x)=-3a+b=-18+b=0$따라서 $\displaystyle a=6$, $\displaystyle b=18$이다.

$\displaystyle x=0$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$가 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to0^+}f^{\prime}(x)=0=\lim_{x\to-3^+}f^{\prime}(x)=c=0$Correction. 극한의 $\displaystyle x\to-3^+$는 $\displaystyle x\to0^-$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그리고 $\displaystyle f(x)$가 연속이므로$\displaystyle \lim_{x\to0^+}f(x)=9=\lim_{x\to0^-}f(x)=b=9$Correction. 계수의 $\displaystyle b=9$는 $\displaystyle d=9$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle c=0$, $\displaystyle d=9$이다.

두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$가 접하므로 $\displaystyle y=-x^2+9$와 $\displaystyle y=kx+12-k$는 한 점에서 만난다.$\displaystyle \begin{aligned}-x^2+9&=kx+12-k\\\Rightarrow\quad0&=x^2+kx+3-k\\\Rightarrow\quad D&=k^2+4k-12=0\quad(D\text{는 판별식})\\\Rightarrow\quad0&=(k-2)(k+6)\\\Rightarrow\quad k&=2\quad(k\text{는 양수})\end{aligned}$따라서 $\displaystyle k=2$이다.

(문제 2-2) 두 함수 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=0$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하기 위해 함수 $\displaystyle f(x)$와 직선 $\displaystyle y=0$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하자.$\displaystyle -x^2+9=0\Rightarrow x=-3$

함수 $\displaystyle g(x)$와 직선 $\displaystyle y=0$의 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구하자.$\displaystyle 2x+10=0\Rightarrow x=-5$

두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 접점의 $\displaystyle x$좌표를 구하자.$\displaystyle 2x+10=-x^2+9\Rightarrow x^2+2x+1=0\Rightarrow x=-1$

정적분을 이용하여 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=0$으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}\text{넓이}&=\int_{-5}^{-3}(g(x)-0)\,dx+\int_{-3}^{-1}(g(x)-f(x))\,dx\\&=\int_{-5}^{-3}(2x+10)\,dx+\int_{-3}^{-1}[(2x+10)-(-x^2+9)]\,dx\\&=\Biggl[x^2+10x\Biggr]_{-5}^{-3}+\Biggl[\frac13x^3+x^2+x\Biggr]_{-3}^{-1}\\&=\frac{20}3\end{aligned}$

그러므로 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 그래프와 직선 $\displaystyle y=0$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 $\displaystyle \frac{20}3$이다.