연세대 미래캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 1번 해설

【문제 1】아래의 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (30점)

(가) 그림과 같이 곡선 $\displaystyle y=x^2$ 과 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle x=1$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle S$ 라고 하자. <그림 1>은 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 을 $\displaystyle n$ 등분한 소구간의 오른쪽 끝점의 함숫값을 높이로 하는 직사각형을 그린 그림이다. <그림 2>는 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$ 을 $\displaystyle n$ 등분한 소구간의 왼쪽 끝점의 함숫값을 높이로 하는 직사각형을 그린 그림이다.

일반적으로 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이면 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x$ 는 항상 존재함이 알려져 있고, 이 극한값은 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle a$ 에서 $\displaystyle b$ 까지의 정적분 $\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx$ 와 같다. $\displaystyle \left(\text{단, }\Delta x=\frac{b-a}n,\ x_k=a+k\Delta x\right)$

[문제 1-1] $\displaystyle n=5$ 일 때 제시문 (가)의 <그림 1>과 같은 방법으로 만든 직사각형들의 넓이의 합과 <그림 2>와 같은 방법으로 만든 직사각형들의 넓이의 합을 각각 구하시오. (10점)

[문제 1-2] $\displaystyle n=100$ 일 때 제시문 (가)의 <그림 1>과 같은 방법으로 만든 직사각형들의 넓이의 합과 <그림 2>와 같은 방법으로 만든 직사각형들의 넓이의 합을 각각 구하시오. (10점)

[문제 1-3] 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\sqrt{\frac\pi2}\right]$ 에서 곡선 $\displaystyle y=x\cos(x^2)$ 과 $\displaystyle x$ 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 정적분을 이용하여 구하시오. (10점)

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(문제 1-1)

<그림 1>에서 $\displaystyle [0,1]$ 사이를 5등분하면 $\displaystyle \Delta x=\frac15$ 이고, 직사각형의 높이는 각각 $\displaystyle \left(\frac15\right)^2$ , $\displaystyle \left(\frac25\right)^2$ , $\displaystyle \left(\frac35\right)^2$ , $\displaystyle \left(\frac45\right)^2$ , $\displaystyle \left(\frac55\right)^2$ 이므로 각각의 직사각형의 넓이의 합을 $\displaystyle A_1$ 이라 하면

$\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2=\frac1{125}$ , $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2=\frac4{125}$ , $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2=\frac9{125}$ , $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{125}$ , $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac55\right)^2=\frac{25}{125}$ 이고,

$\displaystyle A_1=\left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac55\right)^2$ 이므로

$\displaystyle A_1=\frac{1+4+9+16+25}{125}=\frac{55}{125}$ (또는 0.44)

마찬가지로 <그림 2>에서 각각의 직사각형의 넓이의 합을 $\displaystyle A_2$ 라 하면

$\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2=\frac1{125}$ , $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2=\frac4{125}$ , $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2=\frac9{125}$ , $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{125}$ 이고,

$\displaystyle A_2=\left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2$ 이므로

$\displaystyle A_2=\frac{1+4+9+16}{125}=\frac{30}{125}$ (또는 0.24)

(문제 1-2)

문제 1-1번에 따라 <그림 1>에서는

$\displaystyle \left(\frac1n\right)\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2=\left(\frac1{n^3}\right)\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$

$\displaystyle n=100$ 이면 $\displaystyle \frac1{100^3}\frac{100\times101\times201}6=\frac{338350}{100^3}$ (또는 0.33835)

<그림 2>에서는

$\displaystyle \left(\frac1n\right)\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac kn\right)^2=\left(\frac1{n^3}\right)\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}6$ Correction. 두 등식의 마지막 분수 앞에 각각 계수 $\displaystyle 1/n^3$ 이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle n=100$ 이면 $\displaystyle \frac1{100^3}\frac{99\times100\times199}6=\frac{328350}{100^3}$ (또는 0.32835)

(문제 1-3)

제시문에 주어진 바와 같이 면적은 적분을 구할 수 있으므로

면적 $\displaystyle =\int_0^{\sqrt{\pi/2}}x\cos(x^2)\,dx$

$\displaystyle x^2=t$ 로 치환하면, $\displaystyle 2x\,dx=dt$

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos(t)\frac{dt}2=\frac12\left|\sin(t)\right|_0^{\pi/2}=\frac12\left(\sin\left(\frac\pi2\right)-\sin(0)\right)=\frac12$

[문제 1-1] (10점)(상) 문제해결 방향과 계산이 명확하고 옳게 답을 구한경우(중상) 문제해결 방향을 맞게 설정했지만 계산에 사소한 실수가 있는 경우(중하) 문제해결 방향을 맞게 설정했지만 계산에 중요한 실수나 계산을 끝까지 마치지 못한 경우(하) 잘못된 방향설정으로 답을 구하지 못한 경우

[문제 1-2] (10점)(상) 문제해결 방향과 계산이 명확하고 옳게 답을 구한 경우(중상) 문제해결 방향을 맞게 설정했지만 계산에 사소한 실수가 있는 경우(중하) 문제해결 방향을 맞게 설정했지만 계산에 중요한 실수나 계산을 끝까지 마치지 못한 경우(하) 잘못된 방향설정으로 답을 구하지 못한 경우

[문제 1-3] (10점)(상) 문제해결 방향과 계산이 명확하고 옳게 답을 구한경우(중상) 문제해결 방향을 맞게 설정했지만 계산에 사소한 실수가 있는 경우(중하) 문제해결 방향을 맞게 설정했지만 계산에 중요한 실수나 계산을 끝까지 마치지 못한 경우(하) 잘못된 방향설정으로 답을 구하지 못한 경우

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자연계열 1번

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