자연계열 1번

(문제 1-1)

<그림 1>에서 $\displaystyle [0,1]$사이를 5등분하면 $\displaystyle \Delta x=\frac15$이고, 직사각형의 높이는 각각 $\displaystyle \left(\frac15\right)^2$, $\displaystyle \left(\frac25\right)^2$, $\displaystyle \left(\frac35\right)^2$, $\displaystyle \left(\frac45\right)^2$, $\displaystyle \left(\frac55\right)^2$이므로 각각의 직사각형의 넓이의 합을 $\displaystyle A_1$이라 하면

$\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2=\frac1{125}$, $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2=\frac4{125}$, $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2=\frac9{125}$, $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{125}$, $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac55\right)^2=\frac{25}{125}$이고,

$\displaystyle A_1=\left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac55\right)^2$이므로

$\displaystyle A_1=\frac{1+4+9+16+25}{125}=\frac{55}{125}$ (또는 0.44)

마찬가지로 <그림 2>에서 각각의 직사각형의 넓이의 합을 $\displaystyle A_2$라 하면

$\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2=\frac1{125}$, $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2=\frac4{125}$, $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2=\frac9{125}$, $\displaystyle \left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2=\frac{16}{125}$이고,

$\displaystyle A_2=\left(\frac15\right)\left(\frac15\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac25\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac35\right)^2+\left(\frac15\right)\left(\frac45\right)^2$이므로

$\displaystyle A_2=\frac{1+4+9+16}{125}=\frac{30}{125}$ (또는 0.24)

(문제 1-2)

문제 1-1번에 따라 <그림 1>에서는

$\displaystyle \left(\frac1n\right)\sum_{k=1}^n\left(\frac kn\right)^2=\left(\frac1{n^3}\right)\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$Correction. 두 등식의 마지막 분수 앞에 각각 계수 $\displaystyle 1/n^3$이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle n=100$이면 $\displaystyle \frac1{100^3}\frac{100\times101\times201}6=\frac{338350}{100^3}$ (또는 0.33835)

<그림 2>에서는

$\displaystyle \left(\frac1n\right)\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac kn\right)^2=\left(\frac1{n^3}\right)\sum_{k=1}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)n(2n-1)}6$Correction. 두 등식의 마지막 분수 앞에 각각 계수 $\displaystyle 1/n^3$이 빠져 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle n=100$이면 $\displaystyle \frac1{100^3}\frac{99\times100\times199}6=\frac{328350}{100^3}$ (또는 0.32835)

(문제 1-3)

제시문에 주어진 바와 같이 면적은 적분을 구할 수 있으므로

면적$\displaystyle =\int_0^{\sqrt{\pi/2}}x\cos(x^2)\,dx$

$\displaystyle x^2=t$로 치환하면, $\displaystyle 2x\,dx=dt$

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos(t)\frac{dt}2=\frac12\left|\sin(t)\right|_0^{\pi/2}=\frac12\left(\sin\left(\frac\pi2\right)-\sin(0)\right)=\frac12$