의예과 1번

[문제 1-1] (답) $\displaystyle -\frac{27}{25}$

(풀이) 두 초점 $\displaystyle F,F^{\prime}$ 사이의 거리가 14이고 주축의 길이가 10인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1$이다. (이유: 초점 $\displaystyle F(7,0)$, $\displaystyle F^{\prime}(-7,0)$이고 $\displaystyle 25+24=7^2$)

이 쌍곡선에 대해 다음 기본 성질이 성립된다.

① $\displaystyle P$가 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \overline{F^{\prime}P}-\overline{FP}=10$이다. 이때 $\displaystyle \overline{F^{\prime}R}=10$이므로 $\displaystyle \overline{PR}=\overline{PF}$가 성립된다. 그러면 $\displaystyle \triangle PRF$는 이등변 삼각형이다.

② $\displaystyle Q$가 선분 $\displaystyle F^{\prime}R$을 지름으로 하는 원 위에 있으므로 $\displaystyle \angle F^{\prime}QR=\frac\pi2$이 되고 결과적으로 $\displaystyle \angle FQR=\frac\pi2$가 된다.

이로부터 다음 성질이 성립한다.

$\displaystyle \triangle PQR\equiv\triangle PQF$ (이유: $\displaystyle \overline{PQ}$는 공통, $\displaystyle \overline{PR}=\overline{PF}$, $\displaystyle \angle RPQ=\angle FPQ$이므로 SAS 합동)이므로 다음이 성립된다.

(ⅰ) $\displaystyle \overline{RQ}=\overline{FQ}$

(ⅱ) $\displaystyle \angle PQR=\angle PQF$이고 $\displaystyle \angle FQR=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \angle PQR=\angle PQF=\frac\pi4$이 성립되며 결과적으로 직선 $\displaystyle \ell$의 기울기는 $\displaystyle \tan\left(\frac\pi4\right)=1$이다.

$\displaystyle Q(1,0)$을 보인다.

$\displaystyle Q$를 $\displaystyle (k,0)\ (k>0)$라고 하면 $\displaystyle \overline{F^{\prime}Q}=7+k$, $\displaystyle \overline{FQ}=7-k$이고, ‘③(ⅰ)’ 식에 의해 $\displaystyle \overline{RQ}=7-k$가 된다. 그러면 삼각형 $\displaystyle \triangle RQF^{\prime}$은 직각삼각형이므로 $\displaystyle 10^2=(7+k)^2+(7-k)^2$을 만족한다. 따라서 $\displaystyle k=1$이다.

$\displaystyle \cos\theta=\frac{24}{25}$를 보인다.

③과 ④에 의해 직선 $\displaystyle \ell$의 방정식은 $\displaystyle y=x-1$이다. 이 식을 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{24}=1$에 대입하여 풀면 점 $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle (25,24)$이다.

$\displaystyle \overline{FP}=\sqrt{(25-7)^2+24^2}=30$, $\displaystyle \overline{F^{\prime}P}=\sqrt{(25+7)^2+24^2}=40$, $\displaystyle \overline{FF^{\prime}}=14$이므로

$\displaystyle \cos\theta=\frac{30^2+40^2-14^2}{2\times30\times40}=\frac{24}{25}$이다.

$\displaystyle \int_0^\theta x\cos x\,f^{\prime}(\sin x)\,dx+\int_{\frac\pi2-\theta}^{\frac\pi2}f(\cos x)\,dx$을 계산한다.

(ⅰ) $\displaystyle [xf(\sin x)]^{\prime}=f(\sin x)+x\cos x\,f^{\prime}(\sin x)$이므로 $\displaystyle \int_0^\theta x\cos x\,f^{\prime}(\sin x)\,dx$에 부분적분법을 적용하면 다음이 성립한다.$\displaystyle \int_0^\theta x\cos x\,f^{\prime}(\sin x)\,dx=\Biggl[xf(\sin x)\Biggr]_0^\theta-\int_0^\theta f(\sin x)\,dx=\theta f(\sin\theta)-\int_0^\theta f(\sin x)\,dx-$

(ⅱ) $\displaystyle \int_{\frac\pi2-\theta}^{\frac\pi2}f(\cos x)\,dx$에서 $\displaystyle x=\frac\pi2-t$로 치환하면 다음 식이 성립한다.$\displaystyle \int_{\frac\pi2-\theta}^{\frac\pi2}f(\cos x)\,dx=-\int_\theta^0f\left(\cos\left(\frac\pi2-t\right)\right)\,dt=-\int_\theta^0f(\sin t)\,dt=\int_0^\theta f(\sin t)\,dt$

따라서 (ⅰ)과 (ⅱ)를 사용하여 주어진 식을 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle \int_0^\theta x\cos x\,f^{\prime}(\sin x)\,dx+\int_{\frac\pi2-\theta}^{\frac\pi2}f(\cos x)\,dx=\theta f(\sin\theta)-\int_0^\theta f(\sin x)\,dx+\int_0^\theta f(\sin t)\,dt=\theta f(\sin\theta)$

$\displaystyle =\theta f\left(\frac7{25}\right)$ (이유: $\displaystyle \cos\theta=\frac{24}{25}$, $\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$, $\displaystyle \sin\theta>0$이므로)

$\displaystyle =5\left(-\frac35\right)^3=-\frac{27}{25}$ (이유: $\displaystyle f(x)=\frac5\theta(5x-2)^3$이므로)

[문제 1-2] (답) $\displaystyle \frac{71}{75}$

(풀이)

① $\displaystyle \overrightarrow{PD}=\frac{\overrightarrow{PR}+2\overrightarrow{PF}}3=\frac{\vec a+2\vec b}3$

② $\displaystyle l=-\frac23$을 보인다.

$\displaystyle \angle DPR=\angle EPR$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{PD}+\overrightarrow{PE}=m\overrightarrow{PR}$ ($\displaystyle m$은 0이 아닌 실수)로 쓸 수 있으므로 다음 식이 성립한다.$\displaystyle \frac{\vec a+2\vec b}3+(k\vec a+l\vec b)=m\vec a$$\displaystyle \left(\frac13+k-m\right)\vec a+\left(\frac23+l\right)\vec b=\vec0$

두 벡터 $\displaystyle \vec a$와 $\displaystyle \vec b$가 서로 평행이 아니므로 위 식이 성립하려면 $\displaystyle \frac13+k-m=0$, $\displaystyle \frac23+l=0$이다. 즉,$\displaystyle k\ne-\frac13$, $\displaystyle l=-\frac23$이다.

③ $\displaystyle k=\frac{121}{75}$

$\displaystyle \overline{PD}=\overline{PE}$이므로 $\displaystyle \overrightarrow{PD}=\frac{\vec a+2\vec b}3$와 $\displaystyle \overrightarrow{PE}=k\vec a-\frac23\vec b$에 대해서 $\displaystyle \overrightarrow{PD}\cdot\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PE}\cdot\overrightarrow{PE}$이 성립한다. 따라서

$\displaystyle \left(\frac{\vec a+2\vec b}3\right)\cdot\left(\frac{\vec a+2\vec b}3\right)=\left(k\vec a-\frac{2\vec b}3\right)\cdot\left(k\vec a-\frac{2\vec b}3\right)$

$\displaystyle \frac19|\vec a|^2+\frac49|\vec b|^2+\frac49\vec a\cdot\vec b=k^2|\vec a|^2+\frac49|\vec b|^2-\frac43k\vec a\cdot\vec b\quad---(*)$

$\displaystyle |\vec a|=|\vec b|$이고 $\displaystyle \cos\theta=\frac{24}{25}$이므로 (이유: [문제 1-1] 풀이에서 계산)

식 (*)는 다음과 같다: $\displaystyle 225k^2-288k-121=0$ 즉, $\displaystyle (3k+1)(75k-121)=0$

따라서 $\displaystyle k=\frac{121}{75}$ (이유: (풀이2) ②에서 $\displaystyle k\ne-\frac13$이므로)