자연계열 3번

(문제 3-1) (10점)

부분적분법을 이용하여

$\displaystyle x_1(t)=\int_0^t\theta\sin(\theta)\,d\theta=|\theta\cos(\theta)|_0^t-\int_0^t\cos(\theta)\,d\theta=|-\theta\cos(\theta)|_0^t+|\sin(\theta)|_0^t$Correction. 부분적분식은 $\displaystyle \Biggl[-\theta\cos\theta\Biggr]_0^t+\int_0^t\cos\theta\,d\theta$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

∴ $\displaystyle x_1(t)=-t\cos(t)+\sin(t)$

$\displaystyle y_1(t)=\int_0^t\theta\cos(\theta)\,d\theta=|\theta\sin(\theta)|_0^t-\int_0^t\sin(\theta)\,d\theta=|\theta\sin(\theta)|_0^t+|\cos(\theta)|_0^t$

∴ $\displaystyle y_1(t)=t\sin(t)+\cos(t)-1$

원점과의 거리는

$\displaystyle \begin{aligned}s(t)&=\sqrt{((-t\cos(t)+\sin(t))-0)^2+((t\sin(t)+\cos(t)-1)-0)^2}\\&=\sqrt{t^2\cos^2(t)-2t\cos(t)\sin(t)+\sin^2(t)+t^2\sin^2(t)+2t\sin(t)\cos(t)+\cos^2(t)-2t\sin(t)-2\cos(t)+1}\\&=\sqrt{t^2+2-2t\sin(t)-2\cos(t)}\end{aligned}$

(문제 3-2) (10점)

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{ds}{dt}&=\frac{d(\sqrt{t^2+2-2t\sin(t)-2\cos(t)})}{dt}\\&=\frac12\frac{2t-2\sin(t)-2t\cos(t)+2\sin(t)}{\sqrt{t^2+2+2t\sin(t)+2\cos(t)}}\\&=\frac12\frac{2t-2t\cos(t)}{\sqrt{t^2+2+2t\sin(t)+2\cos(t)}}=0\end{aligned}$Correction. 거리 미분식의 분모는 $\displaystyle \sqrt{t^2+2-2t\sin t-2\cos t}$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle t(1-\cos(t))=0$

$\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=2n\pi$ (단, $\displaystyle n=1,2,\cdots$)

(문제 3-3) (10점)

매개변수 방정식의 곡선의 길이는

$\displaystyle l(t)=\int_0^t\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$이므로

$\displaystyle x_1(t)=-t\cos(t)+\sin(t)$

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=-\cos(t)+t\sin(t)+\cos(t)=t\sin(t)$

$\displaystyle y_1(t)=t\sin(t)+\cos(t)-1$

$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\sin(t)+t\cos(t)-\sin(t)=t\cos(t)$

$\displaystyle l(2\pi)=\int_0^{2\pi}\sqrt{(t\sin(t))^2+(t\cos(t))^2}\,dt=\int_0^{2\pi}t\,dt=\left|\frac{t^2}2\right|_0^{2\pi}=2\pi^2$

(문제 3-4) (10점)

두 점 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}&\sqrt{(-t\cos(t)+\sin(t)+t\cos(t))^2+(t\sin(t)+\cos(t)-1-t\sin(t))^2}\\&=\sqrt{(\sin(t))^2+(\cos(t)-1)^2}\\&=\sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)-2\cos(t)+1}\\&=\sqrt{2-2\cos(t)}\end{aligned}$

$\displaystyle \frac{d(\sqrt{2-2\cos(t)})}{dt}=\frac{2\sin(t)}{2\sqrt{2-2\cos(t)}}=0$

$\displaystyle \left(\text{또는 }\frac{d(\sqrt{2-2\cos(t)})}{dt}=\frac{d\left(\sqrt{4\sin^2\left(\frac t2\right)}\right)}{dt}=\frac{d\left(2\sin\frac t2\right)}{dt}=\cos\frac t2=0\right)$일 때 극값을 갖는다.

$\displaystyle 0<t\le2\pi$에서는 $\displaystyle t=\pi$일 때 극값을 갖는다.

최대/최소를 판별하기 위해 이계도함수를 구하면,

$\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dt}\left(\frac{\sin(t)}{\sqrt{2-2\cos(t)}}\right)&=\frac{\cos(t)\sqrt{2-2\cos(t)}-\sin(t)\frac{2\sin(t)}{\sqrt{2-2\cos(t)}}}{2-2\cos(t)}\\&=\frac{2\cos(t)-2\cos^2(t)-2\sin^2(t)}{(2-2\cos(t))\sqrt{2-2\cos(t)}}\end{aligned}$Correction. (3-4)의 이계도함수 분자에서 $\displaystyle -2\sin^2t$는 $\displaystyle -\sin^2t$의 오기이다. 그 앞 등식의 안쪽 분수에서 분모 $\displaystyle \sqrt{2-2\cos t}$는 $\displaystyle 2\sqrt{2-2\cos t}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \frac{2\cos(\pi)-2}{(2-2\cos(\pi))\sqrt{2-2\cos(\pi)}}=-\frac12<0$ $\displaystyle \left(\text{또는 }\frac{d\left(\cos\frac t2\right)}{dt}\to-\sin\left(\frac\pi2\right)\frac12=-\frac12<0\right)$이므로 극댓값을 갖는다.

구간 내에서 두 점 사이의 거리가 최대일 때의 시각은 $\displaystyle t=\pi$이고, 이때 두 점 사이의 거리는 $\displaystyle \sqrt{2-2\cos(\pi)}=2$이다.