자연계열 2번

(문제 2-1) (20점)

삼차방정식 $\displaystyle x^3+bx^2+cx-4=0$ (식1)의 한 개의 허근이 $\displaystyle 1+i$이면 다른 허근은 $\displaystyle 1-i$이다.

나머지 실근을 $\displaystyle x_1$이라고 하면, 삼차방정식은 $\displaystyle (x-(1+i))(x-(1-i))(x-x_1)=0$이다.

이를 정리하면, $\displaystyle x^3-(x_1+2)x^2+(2x_1+2)x-2x_1=0$이므로,식1과 비교하면, $\displaystyle 2x_1=-4$이므로 한 개의 실근은 $\displaystyle x_1=2$이다.Correction. 근과 계수의 관계를 적용한 식의 $\displaystyle 2x_1=-4$는 $\displaystyle -2x_1=-4$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서 $\displaystyle b=-(x_1+2)=-(2+2)=-4$, $\displaystyle c=(2x_1+2)=(2\times2+2)=6$이다.

$\displaystyle x$절편은 $\displaystyle x=2$이고 $\displaystyle 0\le x\le2$에서 $\displaystyle x^3-4x^2+6x-4\le0$이므로주어진 곡선과 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는$\displaystyle \int_0^2|x^3-4x^2+6x-4|\,dx=\int_0^2(-x^3+4x^2-6x+4)\,dx=\frac83$

∴ $\displaystyle \frac83$

(문제 2-2) (10점)

삼차함수가 극댓값, 극솟값을 모두 가지려면 이차방정식 $\displaystyle y^{\prime}=0$이 서로 다른 두 개의 실근을 가져야 한다.

$\displaystyle y=x^3+cx^2+100x+100$를 미분하면

$\displaystyle y^{\prime}=3x^2+2cx+100$

$\displaystyle D=4c^2-4\times3\times100>0$

$\displaystyle c^2>300$을 만족하는 양의 정수 $\displaystyle c$의 최솟값은 18이다. ($\displaystyle \because17^2=289$, $\displaystyle 18^2=324$)