의예과 2번

(문제 2-1)

- 삼각형 $\displaystyle OAB$에서 $\displaystyle \overline{AC}\perp\overline{OB}$이고 $\displaystyle \overline{OC}=\overline{BC}$이므로, $\displaystyle \triangle OAB$는 $\displaystyle \overline{AO}=\overline{AB}$인 이등변삼각형이다. 또한, 원뿔에서 $\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}=l$이므로 $\displaystyle \triangle OAB$는 정삼각형이다.원뿔의 밑면을 이루는 원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$이라고 하자. $\displaystyle \triangle OAB$는 정삼각형이므로 $\displaystyle \overline{AB}=2R=l$이고, $\displaystyle \angle CAB=\pi/6$이다.

- 다음과 같이 보조선을 긋자.(1) 점 P에서 삼각형 ABC가 만드는 평면에 내린 수선의 발 H(2) 점 H에서 원뿔의 밑면에 내린 수선의 발 G(3) 점 P에서 원뿔의 밑면에 수선의 발 J

- 다음과 같이 서로 수직인 관계를 찾을 수 있다.(1)에 의해서 $\displaystyle \overline{PH}\perp\overline{HA}$ (∵ 선분 AH는 평면 위의 선분)(1)과 (2)에 의해서 $\displaystyle \overline{PH}\perp\overline{HG}$(2)에 의해서 $\displaystyle \overline{HG}\perp\overline{GJ}$ (∵ 선분 GJ는 평면 위의 선분),(3)에 의해서 $\displaystyle \overline{PJ}\perp\overline{JM}$, $\displaystyle \overline{PJ}\perp\overline{JG}$ (∵ 선분 JM, 선분 JG는 평면 위의 선분)

- 사각형 $\displaystyle HGJP$에서, $\displaystyle \overline{PH}\perp\overline{HG}$, $\displaystyle \overline{HG}\perp\overline{GJ}$, $\displaystyle \overline{PJ}\perp\overline{JG}$이므로 $\displaystyle \overline{HP}\perp\overline{PJ}$이다.그러므로 사각형 $\displaystyle HGJP$는 직사각형이고, $\displaystyle \overline{HG}=\overline{PJ}$이다.

- 삼각형 $\displaystyle GMJ$에서 $\displaystyle \angle AMK=\theta$, $\displaystyle \overline{MJ}=t$라고 하자.

- 호 $\displaystyle AK$에서 중심각의 크기가 $\displaystyle \angle AMK=\theta$이고 반지름의 길이가 $\displaystyle \overline{AM}=R=l/2$이므로, $\displaystyle g(\theta)=R\theta$이다.

- 직각삼각형 $\displaystyle MGJ$에서 $\displaystyle \angle GMJ=\theta$, $\displaystyle \overline{MJ}=t$, $\displaystyle \angle MGJ=\pi/2$이므로, $\displaystyle \overline{JG}=t\sin\theta$이다.

- 직사각형 $\displaystyle HGJP$에서 $\displaystyle \overline{JG}=\overline{PH}$이므로, $\displaystyle \overline{JG}=\overline{PH}=t\sin\theta$이다.

- 점 $\displaystyle Q$는 점 $\displaystyle P$의 직선 $\displaystyle AC$에 대한 대칭점이고 점 $\displaystyle H$는 점 $\displaystyle P$의 선분 $\displaystyle AC$ 위로의 수선의 발이므로, $\displaystyle \overline{PQ}=2\overline{PH}=2t\sin\theta$이다.

- 그러므로, $\displaystyle L(\theta)=\frac{f(\theta)}{g(\theta)}=\frac{2t\sin\theta}{R\theta}$이다.

- 직각삼각형 $\displaystyle MGJ$에서 $\displaystyle \overline{GM}=t\cos\theta$, $\displaystyle \overline{MJ}=t$, 반지름 $\displaystyle \overline{MA}=\overline{MK}=R$이므로, $\displaystyle \overline{GA}=R-t\cos\theta$, $\displaystyle \overline{JK}=R-t$이다.

- 직각삼각형 $\displaystyle AGH$에서 $\displaystyle \overline{AG}=R-t\cos\theta$, $\displaystyle \angle AGH=\pi/2$이므로, $\displaystyle \overline{HG}=(R-t\cos\theta)/\sqrt3$이다.

- 직각삼각형 $\displaystyle KJP$에서 $\displaystyle \overline{KJ}=R-t$, $\displaystyle \angle KJP=\pi/2$이므로, $\displaystyle \overline{PJ}=\sqrt3(R-t)$이다.

- 직사각형 $\displaystyle HGJP$에서 $\displaystyle \overline{HG}=\overline{PJ}$이므로, $\displaystyle \overline{HG}=(R-t\cos\theta)/\sqrt3=\overline{PJ}=\sqrt3(R-t)$$\displaystyle \Rightarrow t=\frac{2R}{3-\cos\theta}$

- 그러므로, $\displaystyle L(\theta)=\frac{2t\sin\theta}{R\theta}=\frac{4\sin\theta}{\theta(3-\cos\theta)}$이고, 극한 $\displaystyle \lim_{\theta\to0^+}L(\theta)$은 다음과 같다.$\displaystyle \lim_{\theta\to0^+}L(\theta)=\lim_{\theta\to0^+}\frac{4\sin\theta}{\theta(3-\cos\theta)}=\lim_{\theta\to0^+}\frac{\sin\theta}\theta\frac4{3-\cos\theta}=2$

(문제 2-2)

- 삼각형 $\displaystyle OAB$에서 $\displaystyle \overline{AC}\perp\overline{OB}$이고 $\displaystyle \overline{OC}=\overline{BC}$이므로, $\displaystyle \triangle OAB$는 $\displaystyle \overline{AO}=\overline{AB}$인 이등변삼각형이다. 또한, 원뿔에서 $\displaystyle \overline{OA}=\overline{OB}=l$이므로 $\displaystyle \triangle OAB$는 정삼각형이다.

- 원뿔의 밑면을 이루는 원의 반지름의 길이를 $\displaystyle R$이라고 하자. $\displaystyle \triangle OAB$는 정삼각형이므로 $\displaystyle \overline{AB}=2R=l$이다.

문제의 구가 양옆에 있는 구와 서로 외접하고, 원기둥의 안쪽 면과 접하는 조건을 사용하기 위해 모든 구의 중심을 지나는 평면을 고려하자. (그림 2-2-1)

- 모든 구의 중심을 지나는 평면은 원뿔의 밑면과 평행하다. 이 평면에 의해 원기둥이 잘린 단면은 원이다. 이 원을 $\displaystyle O_1$이라 하자. 원 $\displaystyle O_1$의 반지름은 $\displaystyle R$이다.

- 이 평면에 의해 구가 잘린 단면은 원이다. 이 원을 $\displaystyle O_2$이라 하자. 원 $\displaystyle O_2$의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하자.

- $\displaystyle n$개의 원 $\displaystyle O_2$의 중심은 한 변의 길이가 $\displaystyle 2r$인 정$\displaystyle n$각형을 이룬다. 이 정$\displaystyle n$각형의 중심과 각 꼭짓점을 이어 만든 삼각형은 이등변삼각형이 되며, 원 $\displaystyle O_2$의 중심이 되는 꼭짓점에서의 각도는 $\displaystyle 2\pi/n$이다.Correction. 중심각의 꼭짓점 $\displaystyle O_2$는 $\displaystyle O_1$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

- 원 $\displaystyle O_1$의 중심에서 원 $\displaystyle O_2$에 접선을 긋자. 이 접선과 두 원 $\displaystyle O_1$, $\displaystyle O_2$의 중심을 이은 직선이 이루는 각을 $\displaystyle \theta_2$라 하자. $\displaystyle \theta_2=\pi/n$이다.

- 사잇각이 $\displaystyle \theta_2$인 직각삼각형에서, 각 $\displaystyle \theta_2$의 대변의 길이는 $\displaystyle r$이므로 빗변의 길이는 $\displaystyle r/\sin\theta_2$이다.

- 원 $\displaystyle O_1$의 반지름의 길이는 $\displaystyle R$이므로,$\displaystyle R=\frac r{\sin\theta_2}+r=\left(1+\frac1{\sin(\pi/n)}\right)r=\frac{1+\sin(\pi/n)}{\sin(\pi/n)}r\quad\Rightarrow\quad r=\frac{R\sin(\pi/n)}{1+\sin(\pi/n)}$이다.

원뿔과 원기둥에 모두 접하는 구가 평면 $\displaystyle \beta$ 아래에 있기 위한 조건을 구하자. 구와 원뿔의 교점, 구와 원기둥의 접점, 구의 중심을 지나는 평면을 $\displaystyle \gamma$라 하자. 주어진 입체도형을 평면 $\displaystyle \gamma$로 자른 단면을 고려하자. (그림 2-2-2)

- 구와 원뿔의 접점 $\displaystyle V$와 직선 $\displaystyle OM$에 수직인 직선이 원기둥의 옆면과 만나는 점을 $\displaystyle Y$라 하자. 구의 중심 $\displaystyle U$에서 직선 $\displaystyle VY$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle W$라 하자.

- 직각삼각형 $\displaystyle UVW$에서 $\displaystyle \angle UVW=\pi/6$, $\displaystyle \overline{UV}=r$, $\displaystyle \angle UWV=\pi/2$이므로 $\displaystyle \overline{VW}=\sqrt3r/2$, $\displaystyle \overline{UW}=r/2$이다.

- 직각삼각형 $\displaystyle VXY$에서 $\displaystyle \angle VXY=\pi/6$, $\displaystyle \overline{VY}=r+r\sqrt3/2$, $\displaystyle \angle XYV=\pi/2$이므로 $\displaystyle \overline{XY}=r\sqrt3(1+\sqrt3/2)$이다.

- 그러므로 $\displaystyle \overline{U_2W_2}=\overline{U_2U}+\overline{UW}+\overline{WW_2}=r+r/2+r\sqrt3(1+\sqrt3/2)=(3+\sqrt3)r$이다.

구가 평면 $\displaystyle \beta$와 만나지 않기 위해서는 $\displaystyle \overline{OM}>\overline{U_2W_2}$이어야 한다.

$\displaystyle \begin{aligned}\sqrt3R=\overline{OM}>\overline{U_2W_2}&=(3+\sqrt3)r=\frac{R(3+\sqrt3)\sin(\pi/n)}{1+\sin(\pi/n)}\\\Leftrightarrow\quad\sqrt3&>\frac{(3+\sqrt3)\sin(\pi/n)}{1+\sin(\pi/n)}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{\sqrt3}{3+\sqrt3}>\frac{\sin(\pi/n)}{1+\sin(\pi/n)}\\\Leftrightarrow\quad\frac{3+\sqrt3}{\sqrt3}&<\frac{1+\sin(\pi/n)}{\sin(\pi/n)}\\\Leftrightarrow\quad\sqrt3+1&<\frac1{\sin(\pi/n)}+1\quad\Leftrightarrow\quad\frac1{\sqrt3}>\sin(\pi/n)\end{aligned}$

제시문 (마)의 표에 의해서 $\displaystyle 1/\sqrt3\approx0.5774$이고, $\displaystyle \sin(\pi/5)\approx0.5878$, $\displaystyle \sin(\pi/6)=0.5000$이므로 $\displaystyle n=6$이다.