자연계열 2번

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x^{2025}+x^{2024}+1}{x^{2025}+x^{1885}+1}\to1$이므로각 $\displaystyle k=2,\ldots,10$에 대해 평균값 정리를 적용하면$\displaystyle f(n+2k)-f(n)=2k f^{\prime}(\xi_{n,k}),\qquad n<\xi_{n,k}<n+2k$이다.$\displaystyle \xi_{n,k}\to\infty$이고합의 항수는 유한하므로구하는 극한값은$\displaystyle \sum_{k=2}^{10}\frac{2}{(k-1)(k+1)}=\sum_{k=2}^{10}\left(\frac1{k-1}-\frac1{k+1}\right)=1+\frac12-\frac1{10}-\frac1{11}=\frac{72}{55}$이다.