자연계열 4번

양수 $\displaystyle q$에 대하여$\displaystyle c_n(q)=\int_n^{n+1}\{x^{-q}-(n+1)^{-q}\}\,dx$라 하면$\displaystyle c_n(1)=a_n$이고$\displaystyle c_n(\alpha)=b_n$이다.평균값 정리에 의해 $\displaystyle n\le x\le n+1$에서$\displaystyle \frac{q(n+1-x)}{(n+1)^{q+1}}\le x^{-q}-(n+1)^{-q}\le\frac{q(n+1-x)}{n^{q+1}}$이므로적분하면$\displaystyle \frac{q}{2(n+1)^{q+1}}\le c_n(q)\le\frac{q}{2n^{q+1}}$이다.따라서 $\displaystyle n^{q+1}c_n(q)\to q/2$이다.[문제 4-1] $\displaystyle n^2a_n\to\frac12$이므로$\displaystyle n(3n+1)^3a_n^2=\left(3+\frac1n\right)^3(n^2a_n)^2\to\frac{27}{4}$이다.[문제 4-2] $\displaystyle n^{\alpha+1}b_n\to\frac\alpha2$이므로유한한 0이 아닌 극한을 가지려면 $\displaystyle p=\alpha+1$이어야 한다.이때 $\displaystyle L=\alpha/2$이므로$\displaystyle p+L=\frac{3\alpha}{2}+1$이다.