자연계열 6번

연세대 신촌캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 6번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2025su/jayeon_6

[문제 6, 서술형] 좌표평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}(-2,0)$ 에 대해 두 점 $\displaystyle \mathrm{P},\mathrm{Q}$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, 다음 물음에 답하시오.

(Ⅰ) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}$ 와 $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ 는 서로 평행하다.

(Ⅱ) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=9$

[문제 6-1] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 원 $\displaystyle C_{1}:x^{2}+y^{2}=1$ 위를 움직이는 점일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 나타내는 도형의 식을 구하시오. [15점]

[문제 6-2] 아래 그림과 같이 두 원 $\displaystyle C_{1}:x^{2}+y^{2}=1$ , $\displaystyle C_{2}:(x+1)^{2}+y^{2}=1$ 의 서로 다른 두 교점을 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}$ , $\displaystyle \mathrm{R}_{2}$ 라 하자. 원 $\displaystyle C_{1}$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{O}^{\prime}(-1,0)$ 을 포함하는 호 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}\mathrm{O}^{\prime}\mathrm{R}_{2}$ 와 원 $\displaystyle C_{2}$ 에서 점 $\displaystyle \mathrm{O}(0,0)$ 을 포함하는 호 $\displaystyle \mathrm{R}_{1}\mathrm{O}\mathrm{R}_{2}$ 로 이루어진 도형을 $\displaystyle R$ (아래 그림에서 굵게 표시된 도형)이라 하자. 점 $\displaystyle \mathrm{P}$ 가 도형 $\displaystyle R$ 위를 움직이는 점일 때, 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$ 가 나타내는 도형의 길이를 구하시오. [15점]

반지름 1인 두 원 C_1(중심 O)과 C_2(중심 O')가 겹쳐 있고 두 교점 R_1, R_2를 잇는 렌즈 모양의 경계가 굵게 그려져 있다. x축 위에 A(-2,0)이 표시되어 있다.

해설강의 준비중

벡터의 내적

위치벡터

관련 개념강의 준비중

연세대 신촌캠퍼스 2025학년도 수시 자연계열 6번 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2025su/jayeon_6

+7점 · [6-1] 두 벡터의 조건을 좌표 또는 도형의 관계로 나타낸다.

[문제 6-1] $\displaystyle \mathrm P(x,y)$ , $\displaystyle \mathrm Q(X,Y)$ 라 하자.두 벡터는 평행하고 내적이 양수이므로같은 방향이며, $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac9{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2}\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ 이다.반대로도 같은 관계가 성립하므로 $\displaystyle D=(X+2)^2+Y^2$ 라 하면 $\displaystyle x+2=\frac{9(X+2)}D,\qquad y=\frac{9Y}D$ 이다.

+8점 · [6-1] 자취의 방정식을 구하고 범위를 확인한다.

이를 $\displaystyle x^2+y^2=1$ 에 대입하면 $\displaystyle \frac{81}D-\frac{36(X+2)}D+3=0$ 이므로 $\displaystyle (X-4)^2+Y^2=9$ 이다.이 원에는 $\displaystyle \mathrm A$ 가 없고 같은 식으로 원 $\displaystyle C_1$ 위의 점을 복원할 수 있으므로구하는 자취는 이 원 전체이다.

+10점 · [6-2] 각 호가 만드는 자취를 범위까지 올바르게 구한다.

[문제 6-2] 두 원의 교점은 $\displaystyle (-\frac12,\pm\frac{\sqrt3}{2})$ 이고,대응하는 점은 $\displaystyle \mathrm M(\frac52,\frac{3\sqrt3}{2})$ , $\displaystyle \mathrm N(\frac52,-\frac{3\sqrt3}{2})$ 이다.(i) 원 $\displaystyle C_2$ 에서는 $\displaystyle (x+1)^2+y^2=1$ 이므로 $\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=2(x+2)$ 이고 $\displaystyle X=\frac52$ 이다.해당 호에서 $\displaystyle \mathrm Q$ 는 선분 $\displaystyle \mathrm{MN}$ 을 움직인다.(ii) 원 $\displaystyle C_1$ 에서는 [문제 6-1]의 원 위를 움직인다. $\displaystyle (-1,0)$ 은 $\displaystyle (7,0)$ 에 대응하므로해당 자취는반지름 $\displaystyle 3$ 이고중심각이 $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$ 인 큰 호이다.

+5점 · [6-2] 자취의 전체 길이를 올바르게 계산한다.

따라서 구하는 길이는 $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}}+3\cdot\frac{4\pi}{3}=3\sqrt3+4\pi$ 이다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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