자연계열 6번

[문제 6-1] $\displaystyle \mathrm P(x,y)$, $\displaystyle \mathrm Q(X,Y)$라 하자.두 벡터는 평행하고 내적이 양수이므로같은 방향이며,$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac9{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2}\overrightarrow{\mathrm{AP}}$이다.반대로도 같은 관계가 성립하므로$\displaystyle D=(X+2)^2+Y^2$라 하면$\displaystyle x+2=\frac{9(X+2)}D,\qquad y=\frac{9Y}D$이다.

이를 $\displaystyle x^2+y^2=1$에 대입하면$\displaystyle \frac{81}D-\frac{36(X+2)}D+3=0$이므로$\displaystyle (X-4)^2+Y^2=9$이다.이 원에는 $\displaystyle \mathrm A$가 없고 같은 식으로 원 $\displaystyle C_1$ 위의 점을 복원할 수 있으므로구하는 자취는 이 원 전체이다.

[문제 6-2] 두 원의 교점은 $\displaystyle (-\frac12,\pm\frac{\sqrt3}{2})$이고,대응하는 점은 $\displaystyle \mathrm M(\frac52,\frac{3\sqrt3}{2})$, $\displaystyle \mathrm N(\frac52,-\frac{3\sqrt3}{2})$이다.(i) 원 $\displaystyle C_2$에서는 $\displaystyle (x+1)^2+y^2=1$이므로$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=2(x+2)$이고$\displaystyle X=\frac52$이다.해당 호에서 $\displaystyle \mathrm Q$는 선분 $\displaystyle \mathrm{MN}$을 움직인다.(ii) 원 $\displaystyle C_1$에서는 [문제 6-1]의 원 위를 움직인다.$\displaystyle (-1,0)$은 $\displaystyle (7,0)$에 대응하므로해당 자취는반지름 $\displaystyle 3$이고중심각이 $\displaystyle \frac{4\pi}{3}$인 큰 호이다.

따라서 구하는 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{MN}}+3\cdot\frac{4\pi}{3}=3\sqrt3+4\pi$이다.