자연계열 1번

$\displaystyle 10$장의 카드 중 서로 다른 $\displaystyle 5$장을 택할 때 $\displaystyle 3$이 적힌 카드가 택해질 확률은 $\displaystyle \frac{5}{10}=\frac{1}{2}$이고,택해지지 않을 확률도 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.

(ⅰ) $\displaystyle 3\in A$인 경우$\displaystyle 3$이 적힌 카드를 뺀 나머지 $\displaystyle 4$장은 $\displaystyle 3$이 아닌 아홉 수 $\displaystyle 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10$ 중에서 택해지고,이 $\displaystyle 4$장 각각에 적힌 수는 아홉 수 가운데 어느 것일 가능성이 모두 같다.따라서 한 장에 적힌 수의 기댓값은$\displaystyle \frac{1+2+4+5+6+7+8+9+10}{9}=\frac{52}{9}$이고, $\displaystyle S$의 기댓값은 $\displaystyle 3+4\times\frac{52}{9}=\frac{235}{9}$이다.이 경우 $\displaystyle X=3S$이므로 $\displaystyle X$의 기댓값은 $\displaystyle 3\times\frac{235}{9}=\frac{235}{3}$이다.

(ⅱ) $\displaystyle 3\notin A$인 경우$\displaystyle 5$장이 모두 $\displaystyle 3$이 아닌 아홉 수 중에서 택해지므로,같은 이유로 한 장에 적힌 수의 기댓값은 $\displaystyle \frac{52}{9}$이고$\displaystyle X=S$의 기댓값은 $\displaystyle 5\times\frac{52}{9}=\frac{260}{9}$이다.

따라서$\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{1}{2}\times\frac{235}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{260}{9}=\frac{705+260}{18}=\frac{965}{18}$