자연계열 5번

[문제 5-1]$\displaystyle u(x)=e^{x}+x$, $\displaystyle v(x)=1-xe^{x}$라 하면$\displaystyle \{u(x)\}^{2}+\{v(x)\}^{2}=e^{2x}+2xe^{x}+x^{2}+1-2xe^{x}+x^{2}e^{2x}=\left(e^{2x}+1\right)\left(x^{2}+1\right)$이므로$\displaystyle f(x)=\frac{uv}{u^{2}+v^{2}}$이다.($\displaystyle u=v=0$이면 $\displaystyle e^{x}=-x$에서 $\displaystyle xe^{x}=-x^{2}\le0<1$이 되어 모순이므로 분모는 항상 양수이다.)

산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle u^{2}+v^{2}\ge 2\sqrt{u^{2}v^{2}}=2|uv|$이므로,모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle -\frac{1}{2}\le\frac{uv}{u^{2}+v^{2}}\le\frac{1}{2}$이다.특히 $\displaystyle f(x)\ge-\frac{1}{2}$이고,등호는 $\displaystyle u^{2}+v^{2}=-2uv$, 곧 $\displaystyle (u+v)^{2}=0$일 때, 즉 $\displaystyle u=-v$일 때 성립한다.

$\displaystyle u+v=e^{x}+x+1-xe^{x}$는 연속함수이고$\displaystyle (u+v)(1)=2>0,\quad (u+v)(2)=3-e^{2}<0$이므로($\displaystyle e>2$) 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle u+v=0$, 즉 $\displaystyle u=-v$인 $\displaystyle \alpha$가 열린구간 $\displaystyle (1,2)$에 존재한다.이때 $\displaystyle u(\alpha)\ne0$이므로 $\displaystyle f(\alpha)=\frac{u\cdot(-u)}{u^{2}+u^{2}}=-\frac{1}{2}$이다.따라서 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle -\frac{1}{2}$이다.

[문제 5-2]$\displaystyle u(x)=2e^{x}+\cos x$, $\displaystyle v(x)=2-e^{x}\cos x$라 하면$\displaystyle u^{2}+v^{2}=4e^{2x}+4e^{x}\cos x+\cos^{2}x+4-4e^{x}\cos x+e^{2x}\cos^{2}x=\left(e^{2x}+1\right)\left(\cos^{2}x+4\right)$이므로 $\displaystyle f(x)=\frac{uv}{u^{2}+v^{2}}$이고,5-1과 같이 산술평균과 기하평균의 관계에서 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le\frac{1}{2}$이다.등호는 $\displaystyle u^{2}+v^{2}=2uv$, 곧 $\displaystyle (u-v)^{2}=0$일 때, 즉 $\displaystyle u=v$일 때 성립한다.($\displaystyle u=v=0$이면 $\displaystyle 2e^{x}=-\cos x$, $\displaystyle e^{x}\cos x=2$에서 $\displaystyle e^{2x}=-1$이 되어 모순이므로 분모는 항상 양수이다.)

$\displaystyle u-v=e^{x}\cos x+2e^{x}+\cos x-2$는 연속함수이고$\displaystyle (u-v)(0)=2>0,\quad (u-v)\left(-\frac{\pi}{2}\right)=2e^{-\frac{\pi}{2}}-2<0$이므로 사잇값 정리에 의하여 $\displaystyle u=v$인 $\displaystyle \alpha$가 열린구간 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2},0\right)$에 존재한다.이때 $\displaystyle f(\alpha)=\frac{u^{2}}{2u^{2}}=\frac{1}{2}$이다.따라서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{1}{2}$이다.