자연계열 4번

[문제 4-1] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표를 $\displaystyle (f,g)$로 줄여 쓰자.곡선 $\displaystyle C_{1}$의 점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 접선은 $\displaystyle \frac{f}{4}x-gy=1$이므로 벡터 $\displaystyle (f,-4g)$는 이 접선에 수직이다.직선 $\displaystyle \mathrm{PQ}$도 이 접선에 수직이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 $\displaystyle x$좌표가 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표보다 작다는 조건을 이용하면$\displaystyle \beta(t)=g+\frac{4g}{\sqrt{f^{2}+16g^{2}}}$이다. 한편, $\displaystyle \frac{f^{2}}{4}-g^{2}=1$이므로 $\displaystyle f^{2}+16g^{2}=4(1+5g^{2})$이다. 따라서$\displaystyle \beta(t)=g(t)\left(1+\frac{2}{\sqrt{1+5\{g(t)\}^{2}}}\right)$이다.

양변을 미분하면$\displaystyle \beta^{\prime}(t)=g^{\prime}(t)\left(1+\frac{2}{\left(1+5\{g(t)\}^{2}\right)^{3/2}}\right)$이다. $\displaystyle g(0)=0$, $\displaystyle g^{\prime}(0)=2026$이므로$\displaystyle \beta^{\prime}(0)=2026\cdot(1+2)=6078$이다.

[문제 4-2] 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 2$ 이상이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 1$ 이상이다. 따라서 직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$의 기울기는 항상 정의된다.쌍곡선 $\displaystyle C_1$의 제1사분면 위의 점에서 그은 기울기가 $\displaystyle m$인 접선은$\displaystyle L:\ y=mx-\sqrt{4m^2-1}\qquad\left(m>\frac12\right)$이다.

점 $\displaystyle \mathrm{R}$을 지나고 $\displaystyle L$과 평행한 직선을$\displaystyle \ell_+:\ y=mx-\frac{\sqrt5}{2}$라 하자. $\displaystyle \ell_+$가 $\displaystyle L$보다 위에 있고 두 직선 사이의 거리가 $\displaystyle 1$이면, 쌍곡선 $\displaystyle C_1$은 모두 $\displaystyle L$ 위 또는 아래에 있으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$인 점 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle \ell_+$ 위 또는 아래에 있다.또한 $\displaystyle \mathrm{P}$가 $\displaystyle L$의 접점일 때에는 $\displaystyle \mathrm{PQ}$가 $\displaystyle L$에 수직이므로 $\displaystyle \mathrm{Q}$는 $\displaystyle \ell_+$ 위에 놓인다. 따라서 직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$의 기울기의 최댓값은 $\displaystyle m$이다.Note. 평행한 두 직선 사이의 거리는 두 직선이 $\displaystyle y=mx+n_1$, $\displaystyle y=mx+n_2$일 때$\displaystyle \frac{|n_1-n_2|}{\sqrt{m^2+1}}$이다.

두 직선 사이의 거리 조건에서$\displaystyle \frac{\sqrt{4m^2-1}-\frac{\sqrt5}{2}}{\sqrt{m^2+1}}=1$이다. 이를 풀면$\displaystyle m=\frac{\sqrt{89}}6$이다.

한편, 점 $\displaystyle \mathrm{R}$을 지나고 기울기가 $\displaystyle -\frac12$인 직선을$\displaystyle \ell_-:\ y=-\frac12x-\frac{\sqrt5}{2}$라 하자. 이 직선과 점근선 $\displaystyle y=-\frac12x$ 사이의 거리는 $\displaystyle 1$이다.쌍곡선 $\displaystyle C_1$은 이 점근선보다 위에 있으므로 $\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \ell_-$ 사이의 거리는 $\displaystyle 1$보다 크다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=1$이므로 $\displaystyle \mathrm{Q}$도 $\displaystyle \ell_-$보다 위에 있다. 따라서 직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$의 기울기는 $\displaystyle -\frac12$보다 크다.

점 $\displaystyle \mathrm{P}$를 $\displaystyle \left(2\sqrt{1+u^2},u\right)$라 하면$\displaystyle \lim_{u\to-\infty}\frac{u}{2\sqrt{1+u^2}}=-\frac12.$$\displaystyle \mathrm{P}$와 $\displaystyle \mathrm{Q}$의 각 좌표의 차는 절댓값이 $\displaystyle 1$ 이하이므로, $\displaystyle u\to-\infty$일 때 직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$의 기울기도 $\displaystyle -\frac12$에 가까워진다.직선 $\displaystyle \mathrm{QR}$의 기울기는 $\displaystyle u$에 따라 연속적으로 변하므로, 구하는 집합은$\displaystyle \left\{m\in\mathbb R\;\middle|\;-\frac12<m\le\frac{\sqrt{89}}6\right\}$이다.