수리논술, 이게 다다.

자연계열 2번

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연세대 신촌캠퍼스 2026학년도 수시 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2026su/jayeon_2

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배점20점
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문제

[문제 2] 앞면에는 1\displaystyle 1부터 n\displaystyle n까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 0\displaystyle 0이 하나씩 적혀 있는 n\displaystyle n장의 카드가 있다. 이 n\displaystyle n장의 카드를 사용하여 다음 시행을 한다.

n\displaystyle n장의 카드 중 임의로 1\displaystyle 1장의 카드를 택하여 한 번 뒤집는다.

처음에 이 n\displaystyle n장의 카드는 모두 0\displaystyle 0이 보이도록 놓여 있을 때, 이 시행을 n\displaystyle n번 반복한 후 n\displaystyle n장의 카드에 보이는 모든 수의 합의 기댓값을 an\displaystyle a_{n}이라 하자. lim⁡n→∞ann2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n^{2}} 의 값을 구하시오.(단, 시행을 반복할 때 같은 카드가 여러 번 뒤집힐 수 있고, lim⁡n→∞(1+1n)n=e\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e 이다.) [20점]

이항계수의 성질

이산확률분포

이항분포

논술 자연상수 e

연세대 신촌캠퍼스 2026학년도 수시 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/yonsei_sinchon/2026su/jayeon_2

+5점 · 카드가 최종적으로 보일 확률을 올바르게 구한다.

어떤 자연수 a\displaystyle a (1≤a≤n\displaystyle 1\le a\le n)에 대하여 n\displaystyle n번의 시행 후 자연수 a\displaystyle a가 보이게 뒤집어져 있을 확률을 P(a)\displaystyle \mathrm{P}(a)라 하면P(a)=nC1 ⁣(1n)1 ⁣(1−1n)n−1+nC3 ⁣(1n)3 ⁣(1−1n)n−3+nC5 ⁣(1n)5 ⁣(1−1n)n−5+⋯+nCm ⁣(1n)m ⁣(1−1n)n−m\displaystyle \mathrm{P}(a)={}_{n}\mathrm{C}_{1}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{1}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}+{}_{n}\mathrm{C}_{3}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{3}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-3}+{}_{n}\mathrm{C}_{5}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{5}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-5}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{m}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{m}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-m}(단, m\displaystyle m은 n\displaystyle n 이하의 자연수 중 최대인 홀수)이고,이항정리에 의하여P(a)=∑k=0nnCk ⁣(1n)k ⁣(1−1n)n−k−∑k=0n(−1)knCk ⁣(1n)k ⁣(1−1n)n−k2\displaystyle \mathrm{P}(a)=\frac{\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{k}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-k}-\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{k}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-k}}{2}

한편, ∑k=0nnCk ⁣(1n)k ⁣(1−1n)n−k=(1n+1−1n)n=1\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{k}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-k}=\left(\frac{1}{n}+1-\frac{1}{n}\right)^{n}=1 이고∑k=0n(−1)knCk ⁣(1n)k ⁣(1−1n)n−k=∑k=0nnCk ⁣(−1n)k ⁣(1−1n)n−k=(−1n+1−1n)n=(1−2n)n\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\!\left(\frac{1}{n}\right)^{k}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}\!\left(-\frac{1}{n}\right)^{k}\!\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-k}=\left(-\frac{1}{n}+1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}이므로P(a)=1−(1−2n)n2\displaystyle \mathrm{P}(a)=\frac{1-\left(1-\dfrac{2}{n}\right)^{n}}{2}

+10점 · 보이는 수의 합의 기댓값을 올바르게 구한다.

따라서an=∑a=1n{a×1−(1−2n)n2}=n(n+1)2×1−(1−2n)n2\displaystyle a_{n}=\sum_{a=1}^{n}\left\{a\times\frac{1-\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}}{2}\right\}=\frac{n(n+1)}{2}\times\frac{1-\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}}{2}

+5점 · 주어진 수열의 극한값을 올바르게 구한다.

이므로lim⁡n→∞ann2=lim⁡n→∞{n(n+1)2n2×1−(1−2n)n2}=e2−14e2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{n^{2}}=\lim_{n\to\infty}\left\{\frac{n(n+1)}{2n^{2}}\times\frac{1-\left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}}{2}\right\}=\frac{e^{2}-1}{4e^{2}}

Q. n\displaystyle n이 충분히 커지면 P(a)\displaystyle \mathrm{P}(a)가 12\displaystyle \frac{1}{2}로 수렴할 것 같은데, 그렇지 않은 이유가 무엇일까?A. 카드가 n\displaystyle n장이고 시행 횟수가 kn\displaystyle kn이라면 P(a)=1−(1−2n)kn2→1−e−2k2\displaystyle \mathrm{P}(a)=\frac{1-\left(1-\frac{2}{n}\right)^{kn}}{2}\to\frac{1-e^{-2k}}{2}이고, 이때 k\displaystyle k가 무한대로 발산하면 P(a)\displaystyle \mathrm{P}(a)가 12\displaystyle \frac{1}{2}로 수렴한다. 즉, 횟수가 충분히 많아져 홀수 번과 짝수 번 뒤집힐 확률이 반반이 되는 것. 그러나 이 문제는 시행 횟수와 카드 수가 같은 n\displaystyle n이라 둘이 같은 속도로 커지기 때문에 (1−2n)n→e−2\displaystyle \left(1-\frac{2}{n}\right)^{n}\to e^{-2}이고, 12\displaystyle \frac{1}{2}이 아닌 P(a)→1−e−22≈0.43\displaystyle \mathrm{P}(a)\to\frac{1-e^{-2}}{2}\approx 0.43으로 수렴하는 것이다.

다른 타당한 풀이도 해당 단계의 논증과 계산이 옳으면 같은 배점을 인정한다.

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