자연계열 3번

[문제 3-1]조건 (Ⅱ)에서, $\displaystyle s<t$인 모든 실수 $\displaystyle s$, $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle \int_{s}^{t}\left\{f(x)-g_{i}(x)\right\}dx\ge 0$이 성립하므로$\displaystyle \int_{0}^{3}\left\{f(x)-g_{4}(x)\right\}dx=a\int_{0}^{3}x^{2}dx=9a\ge 0$에서 $\displaystyle a\ge 0$이다. $\displaystyle \cdots\cdots$㉠

(ⅰ) $\displaystyle a=0$인 경우$\displaystyle \int_{0}^{2}\left\{f(x)-g_{2}(x)\right\}dx=b\int_{0}^{2}x\,dx=2b\ge 0,\qquad \int_{-2}^{0}\left\{f(x)-g_{2}(x)\right\}dx=b\int_{-2}^{0}x\,dx=-2b\ge 0$이므로 $\displaystyle b=0$이다.$\displaystyle \int_{-1}^{1}\left\{f(x)-g_{5}(x)\right\}dx=c\int_{-1}^{1}(1-x)dx=2c\ge 0,$$\displaystyle \int_{1}^{3}\left\{f(x)-g_{5}(x)\right\}dx=c\int_{1}^{3}(1-x)dx=-2c\ge 0$이므로 $\displaystyle a=b=c=0$이 되어 조건 (Ⅰ)을 만족시키지 못한다.

(ⅱ) $\displaystyle a>0$인 경우$\displaystyle m=\frac{b-a}{2a}$라 하면 $\displaystyle f(x)-g_{2}(x)=ax^{2}+(b-a)x=a\left(x^{2}+2mx\right)=a\left\{(x+m)^{2}-m^{2}\right\}$이다.$\displaystyle m\ne 0$이면,$\displaystyle \int_{-m-|m|}^{-m+|m|}\left\{f(x)-g_{2}(x)\right\}dx=a\int_{-m-|m|}^{-m+|m|}\left\{(x+m)^{2}-m^{2}\right\}dx=-\frac{4}{3}a|m|^{3}\ge 0$이므로 $\displaystyle |m|<0$이 되어 모순이다. 따라서 $\displaystyle m=0$이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle a>0$, $\displaystyle a=b$이므로$\displaystyle f(x)=ax^{2}+ax+c,\quad f^{\prime}(x)=2ax+a,\quad f^{\prime\prime}(x)=2a$$\displaystyle \frac{2f^{\prime}(26)}{f^{\prime\prime}(26)}=\frac{2\times(52a+a)}{2a}=53$

[문제 3-2]$\displaystyle b=26$이면 [문제 3-1]에서$\displaystyle f(x)=26x^{2}+26x+c,\quad g_{1}(x)=g_{3}(x)=26x+26,\quad g_{2}(x)=g_{4}(x)=26x+c,\quad g_{5}(x)=g_{6}(x)=cx+26 \quad\cdots\cdots㉠$이다.이차방정식 $\displaystyle f(x)-g_{5}(x)=0$의 판별식을 $\displaystyle D$라 하자.

(ⅰ) $\displaystyle D>0$인 경우이차방정식 $\displaystyle f(x)-g_{5}(x)=0$의 서로 다른 두 실근을 $\displaystyle p$, $\displaystyle q\ (p<q)$라 하면$\displaystyle \int_{p}^{q}\left\{f(x)-g_{5}(x)\right\}dx=-\frac{13(q-p)^{3}}{3}<0$이므로 조건 (Ⅱ)을 만족시키지 못한다.

(ⅱ) $\displaystyle D\le 0$인 경우$\displaystyle D=(26-c)^{2}+4\times 26\times(26-c)=(c-26)(c-130)\le 0$이므로 $\displaystyle 26\le c\le 130$이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $\displaystyle f(x)-g_{5}(x)\ge 0$을 만족시키는 모든 $\displaystyle c$의 범위는 $\displaystyle 26\le c\le 130$이다.이 때 $\displaystyle f(x)-g_{1}(x)\ge 0$, $\displaystyle f(x)-g_{2}(x)\ge 0$, $\displaystyle f(x)-g_{5}(x)\ge 0$이 되므로 ㉠에 의하여 $\displaystyle 1\le i\le 6$인 모든 자연수 $\displaystyle i$에 대하여 $\displaystyle f(x)-g_{i}(x)\ge 0$이다.

또한 $\displaystyle 1\le i\le 6$인 모든 자연수 $\displaystyle i$와 모든 실수 $\displaystyle s$에 대하여 $\displaystyle \frac{d}{dx}\int_{s}^{x}\left\{f(t)-g_{i}(t)\right\}dt\ge 0$이 되어 함수 $\displaystyle \int_{s}^{x}\left\{f(t)-g_{i}(t)\right\}dt$는 증가함수이고 $\displaystyle \int_{s}^{s}\left\{f(x)-g_{i}(x)\right\}dx=0$이므로 $\displaystyle s<t$인 모든 실수 $\displaystyle s$, $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle \int_{s}^{t}\left\{f(x)-g_{i}(x)\right\}dx\ge 0$이 되어 조건 (Ⅱ)를 만족시킨다.

따라서 $\displaystyle 26\le c\le 130$이고 $\displaystyle f(-1)=c$이므로 $\displaystyle 26\le f(-1)\le 130$$\displaystyle \alpha=26$, $\displaystyle \beta=130$이므로 $\displaystyle \alpha+\beta=156$