논술 합성곱

＊합성곱

두 수열이나 함수에서 입력값의 합이 일정한 항들을 곱한 뒤,그 값을 모두 더하거나 적분하는 연산을 합성곱이라 한다.

＊수열의 합성곱

두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$, $\displaystyle \{b_n\}$이 $\displaystyle n=0,1,2,\ldots$에서 정의되어 있을 때,두 수열의 합성곱 $\displaystyle \{c_n\}$을$\displaystyle c_n=\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}$로 정의한다. 곱하는 두 항의 첨자 합은 항상 $\displaystyle n$이다.

수열을 각각 $\displaystyle a,b,c$, 합성곱을 $\displaystyle *$로 나타내면,합성곱은 교환법칙과 결합법칙, 덧셈에 대한 분배법칙을 만족한다.$\displaystyle a*b=b*a,\qquad (a*b)*c=a*(b*c)$$\displaystyle a*(b+c)=a*b+a*c$

수열 $\displaystyle (1,0,0,\ldots)$과 합성곱을 하면 원래 수열이 그대로 나오므로,이 수열은 합성곱의 항등원이다.

＊생성함수와 합성곱

두 수열의 생성함수를 각각$\displaystyle A(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n,\qquad B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$이라 하자. 두 식을 곱할 때 $\displaystyle x^n$의 계수는차수의 합이 $\displaystyle n$인 항들을 곱하여 더한 값이므로$\displaystyle A(x)B(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}a_kb_{n-k}\right)x^n$이다. 즉, 수열의 합성곱은 생성함수의 곱에 대응한다.여기서는 생성함수를 각 차수의 계수를 다루는 형식적인 급수로 생각한다.

＊함수의 합성곱

음이 아닌 실수에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f,g$에 대하여,합성곱을 다음과 같이 정의할 수 있다.$\displaystyle (f*g)(x)=\int_0^x f(t)g(x-t)\,dt\qquad(x\ge0)$수열에서 첨자의 합을 일정하게 두었던 것처럼,두 함수에 들어가는 값 $\displaystyle t$와 $\displaystyle x-t$의 합을 $\displaystyle x$로 일정하게 둔다.

$\displaystyle u=x-t$로 치환하면$\displaystyle \int_0^x f(t)g(x-t)\,dt=\int_0^x f(x-u)g(u)\,du$이므로 함수의 합성곱도 교환법칙을 만족한다.

＊합성곱의 미분

$\displaystyle f$가 연속이고 $\displaystyle g$가 연속인 도함수를 가지면, $\displaystyle x>0$에서$\displaystyle \frac{d}{dx}(f*g)(x)=f(x)g(0)+\int_0^x f(t)g^{\prime}(x-t)\,dt$이다. 적분의 위끝이 변하면서 생기는 항과,적분 안의 $\displaystyle g(x-t)$를 미분한 항이 함께 나온다.

특히 $\displaystyle g(0)=0$이면 첫 번째 항이 없어지므로$\displaystyle (f*g)^{\prime}=f*g^{\prime}$이다. 합성곱으로 주어진 식을 미분하여원래 함수에 관한 관계식을 얻을 수 있다.