논술 함수의 합성곱

＊함수의 합성곱

두 함수에서 입력값의 합이 일정한 함수값들을 곱한 뒤,그 값을 적분하는 연산을 함수의 합성곱이라 한다.

음이 아닌 실수에서 정의된 연속함수 $\displaystyle f,g$에 대하여,합성곱을 다음과 같이 정의할 수 있다.$\displaystyle (f*g)(x)=\int_0^x f(t)g(x-t)\,dt\qquad(x\ge0)$두 함수에 들어가는 값 $\displaystyle t$와 $\displaystyle x-t$의 합을 $\displaystyle x$로 일정하게 둔다.

$\displaystyle u=x-t$로 치환하면$\displaystyle \int_0^x f(t)g(x-t)\,dt=\int_0^x f(x-u)g(u)\,du$이므로 함수의 합성곱도 교환법칙을 만족한다.

＊합성곱의 미분

$\displaystyle f$가 연속이고 $\displaystyle g$가 연속인 도함수를 가지면, $\displaystyle x>0$에서$\displaystyle \frac{d}{dx}(f*g)(x)=f(x)g(0)+\int_0^x f(t)g^{\prime}(x-t)\,dt$이다. 적분의 위끝이 변하면서 생기는 항과,적분 안의 $\displaystyle g(x-t)$를 미분한 항이 함께 나온다.

특히 $\displaystyle g(0)=0$이면 첫 번째 항이 없어지므로$\displaystyle (f*g)^{\prime}=f*g^{\prime}$이다. 합성곱으로 주어진 식을 미분하여원래 함수에 관한 관계식을 얻을 수 있다.