자연계열 II 2번

$\displaystyle f(x)=2x^3+3kx^2-(2k^2+k-2)$라 하자. 우선 $\displaystyle k=0$인 경우 해가 하나인 것을 확인한 후, $\displaystyle k>0$이라 가정한다.

이때 $\displaystyle f^{\prime}(x)=6x(x+k)$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-k$에서 극대, $\displaystyle x=0$에서 극소이다.

따라서 단 하나의 해를 가지기 위해서는$\displaystyle f(0)=-(2k^2+k-2)>0$ 또는 $\displaystyle f(-k)=k^3-2k^2-k+2=(k+1)(k-1)(k-2)<0\Rightarrow(k-1)(k-2)<0$이다.

위 부등식을 풀어 $\displaystyle k$의 범위 $\displaystyle 0\le k<\frac{-1+\sqrt{17}}4$ 또는 $\displaystyle 1<k<2$를 얻는다.

우선 사인함수의 덧셈정리를 적용하여 식을 다음과 같이 정리한다.$\displaystyle \begin{aligned}\ln(1+x^2)&=\int_0^x f(t)\sin(x-t)dt=\int_0^x f(t)(\sin x\cos t-\cos x\sin t)dt\\&=\sin x\left\{\int_0^x f(t)\cos t\,dt\right\}-\cos x\left\{\int_0^x f(t)\sin t\,dt\right\}\end{aligned}$

위의 식을 미분하면$\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}=\cos x\left\{\int_0^x f(t)\cos t\,dt\right\}+\sin x\left\{\int_0^x f(t)\sin t\,dt\right\}$이므로, 위 두 식에 각각 $\displaystyle \sin x$, $\displaystyle \cos x$를 곱하여 더해$\displaystyle \int_0^x f(t)\cos t\,dt=\ln(1+x^2)\sin x+\frac{2x}{1+x^2}\cos x$를 얻는다. (또는 비슷한 방법으로 $\displaystyle \int_0^x f(t)\sin t\,dt=\frac{2x}{1+x^2}\sin x-\ln(1+x^2)\cos x$를 얻을 수 있다.)

위 식을 미분하면$\displaystyle f(x)\cos x=\ln(1+x^2)\cos x+\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^{\prime}\cos x$(또는 $\displaystyle f(x)\sin x=\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^{\prime}\sin x+\ln(1+x^2)\sin x$)이므로 $\displaystyle f(x)=\ln(1+x^2)+\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^{\prime}$이다.

따라서$\displaystyle \int_0^2 xf(x)dx=\int_0^2 x\ln(1+x^2)dx+\int_0^2 x\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^{\prime}dx$이다. 첫 번째 적분은 치환적분과 부분적분을 이용하여 계산하고$\displaystyle \int_0^2 x\ln(1+x^2)dx=\frac12\int_1^5\ln u\,du=\frac12\Biggl[u\ln u-u\Biggr]_1^5=-2+\frac52\ln5$두 번째 적분은 부분적분을 하여 값을 구한다.$\displaystyle \int_0^2 x\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^{\prime}dx=\Biggl[\frac{2x^2}{1+x^2}\Biggr]_0^2-\int_0^2\frac{2x}{1+x^2}dx=\frac85-\Biggl[\ln(1+x^2)\Biggr]_0^2=\frac85-\ln5$마지막으로 위의 적분 값을 더하여 정답 $\displaystyle \frac32\ln5-\frac25$을 얻는다.