자연계열 III 3번

교점을 구하자. $\displaystyle x^4(1+x^2)=2$이고 $\displaystyle x^2=t$로 쓰면 $\displaystyle t^2(1+t)=2$이 되고 $\displaystyle t=1$이다. 주어진 영역의 넓이는 아래와 같다.

$\displaystyle \int_0^1\frac2{1+x^2}\,dx=\frac\pi2$이고 $\displaystyle \int_0^1x^4\,dx=\frac15$이므로 정답은 $\displaystyle \pi-\frac25$이다.

$\displaystyle b_n=\frac16(n^3-18n^2+35n+54)=\frac16(n+1)(n^2-19n+54)$이다.

삼차함수 $\displaystyle f(x)=\frac16(x+1)(x^2-19x+54)$의 그래프의 개형을 그려해 보자. 근이 $\displaystyle x=-1$, $\displaystyle \frac{19-\sqrt{145}}2\approx3.5$, $\displaystyle \frac{19+\sqrt{145}}2\approx15.5$이므로 $\displaystyle n=4,5,\cdots,15$일 때 $\displaystyle b_n$이 음수가 나온다. 그래프의 개형을 고려해서 $\displaystyle n=9,10,11,12$인 경우만 조사해 보면 된다.

$\displaystyle b_{10}=-66$이고 $\displaystyle b_{11}=-68$이므로 최솟값은 $\displaystyle -68$이다.